2.9 Rekentechniek

Wortels vereenvoudigen 1

De driehoek in de figuur is rechthoekig.

Ga dat na.

Bekijk de vier driehoeken met zijden
$\sqrt{\frac{1}{5}}$ , $2 \sqrt{\frac{1}{5}}$ en $1$ ;
$\frac{1}{2}$ , $1$ en $\sqrt{1 \frac{1}{4}}$ ;
$6$ , $12$ en $\sqrt{180}$ ;
$\sqrt{5}$ , $2 \sqrt{5}$ en $5$ .
Deze zijn rechthoekig.

Ga dat voor de eerste in de serie na.

Omdat de rechthoekszijden zich verhouden als $1 : 2$ , is elke driehoek uit de serie gelijkvormig met de driehoek in het plaatje hierboven.
Door de driehoek met zijden $1$ , $2$ en $\sqrt{5}$ met $\frac{1}{2}$ te vermenigvuldigen, krijg je enerzijds de driehoek met zijden $\frac{1}{2}$ , $1$ en $\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1 \frac{1}{4}}$ ,
en anderzijds de driehoek met zijden $\frac{1}{2}$ , $1$ en $\frac{1}{2} \sqrt{5}$ .
(Vergelijk de kortste rechthoekszijden.)
Dus $\sqrt{1 \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{5}$ .

Hoe volgt met gelijkvormigheid dat $\sqrt{180} = 6 \sqrt{5}$ ?

De driehoek met zijden $\sqrt{5}$ , $2 \sqrt{5}$ en $5$ is gelijkvormig met de driehoek met zijden $\sqrt{\frac{1}{5}}$ , $2 \sqrt{\frac{1}{5}}$ en $1$ .

Hoe volgt hieruit dat $\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ ?

In opgave 1 hebben we met gelijkvormigheid gezien dat: $\sqrt{1 \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{5}$ , $\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ , $\sqrt{180} = 6 \sqrt{5}$ .
We noemen dit vereenvoudigen van wortels. Je kunt dat ook puur algebraïsch doen:
$\sqrt{1 \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{5}$
$\sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{5} \sqrt{5}$
$\sqrt{180} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6 \sqrt{5}$
Op de middelbare school is het gebruik om wortels zo eenvoudig mogelijk te schrijven, dat betekent:

schrijf een zo klein mogelijk geheel getal achter het wortelteken:
$\sqrt{18} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ ,
schrijf geen wortel in de noemer:
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{6}$ ,
laat geen breuken onder het wortelteken staan:
$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{1}{3} \sqrt{6}$ .

Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk.

$\sqrt{72}$	$\sqrt{172}$
$\sqrt{162}$	$\sqrt{1000}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{4}}$
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$	$\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{\frac{1}{5}}$	$\sqrt{\frac{3}{5}}$
$\sqrt{3 \frac{3}{7}}$	$\sqrt{1 \frac{11}{25}}$

De $30-60-90-$ en de $45-45-90-$ graden driehoek

In de tweede klas heb je het volgende al gezien.

In een $30-60-90-$ graden driehoek (halve regelmatige driehoek) verhouden de zijden zich als $1 : \sqrt{3} : 2$ .
In een $45-45-90-$ graden driehoek (half vierkant) verhouden de zijden zich als $1 : 1 : \sqrt{2}$ .

Van een gelijkbenige driehoek is de tophoek $120 °$ en de gelijke benen zijn $1$ .

Bereken exact de basis $A B$ .

Het trapezium is opgebouwd uit twee $30-60-90-$ graden en twee $45-45-90-$ graden driehoeken.
De kortste zijde is $6$ .

Bereken de lengte van de andere zijden en de diagonalen exact. Schrijf de wortels in je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Voorbeeld:

De vergelijking $x + 2 \sqrt{x} = 3$ los je op als volgt op.

$x + 2 \sqrt{x}$	$=$	$3$	De term met de wortel 'isoleren'.
$x - 3$	$=$	$‐ 2 \sqrt{x}$	kwadrateren
$x^{2} - 6 x + 9$	$=$	$4 x$	op $0$ herleiden en ontbinden
$(x - 1) (x - 9)$	$=$	$0$	$1$ en $9$ controleren in de oorspronkelijke vergelijking
Alleen $x = 1$ voldoet.

We komen in hoofdstuk 3 nog terug op het feit dat je de oplossingen moet controleren.

De rechthoekige driehoek in de figuur heeft schuine zijde $17$ en omtrek $40$ .

Een van de rechthoekszijden noemen we $x$ .

Laat zien dat $x + \sqrt{289 - x^{2}} = 23$ .

Los de vergelijking in het vorige onderdeel exact op.

Los exact op.

$x = \sqrt{x + 2}$

$‐ x = \sqrt{x + 2}$

$x = \sqrt{x} + 2$

In de figuur is een vierkant in een rechthoekige driehoek getekend.

Druk alle lijnstukken in het plaatje uit in $x$ .
Gebruik gelijkvormigheid.

Blijkbaar geldt:
$\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{x^{2} + 1} = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}$ .

Laat met algebra zien dat deze formule juist is.

Wortels vereenvoudigen 2

In driehoek $A B C$ is $C D$ een hoogtelijn. Verder is gegeven:
$C D = 1$ , $A D = \sqrt{2} - 1$ , $B D = \sqrt{2} + 1$ .

Bereken $a^{2}$ en $b^{2}$ en toon aan dat driehoek $A B C$ rechthoekig is.

Omdat $h^{2} = A D \cdot B D$ , geldt dat $A D = \sqrt{2} - 1$ en $B D = \sqrt{2} + 1$ elkaars omgekeerde zijn, dus: $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ .

Controleer dat algebraïsch.

Voorbeeld:

Ook (bijvoorbeeld) $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ , kun je zonder wortel in de noemer schrijven, als volgt:
$\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \sqrt{3} + 2}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1$ .

Schrijf de volgende vormen zonder wortel in de noemer.

\frac{2}{\sqrt{3} + 2}

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + 2}

\frac{3}{2 \sqrt{5} + \sqrt{17}}

De loodrechte projectie van $P$ op lijn $k$ is $P^{'}$ en $P P^{'} = 1$ . $A$ en $B$ liggen op $k$ en $A B = 8$ . $B$ ligt $4 \sqrt{2}$ verder van $P$ dan $A$ .

Stel een vergelijking op om de afstand van $A$ tot $P$ te berekenen en los die vergelijking exact op.

Er geldt: $5 \sqrt{\frac{5}{24}} = \sqrt{5 \frac{5}{24}}$ en $6 \sqrt{\frac{6}{35}} = \sqrt{6 \frac{6}{35}}$ .

Toon dat exact aan.

Zijn er meer van dit soort gelijkheden te vinden?