De distributiewet

Ad schrijft op: $2 (\frac{1}{2} a + b) = a + b$ .

Wat is je commentaar?

We stellen $a$ voor door een lijnstuk van lengte $2$ cm en $b$ door een lijnstuk van $1 \frac{1}{2}$ cm.

Teken een plaatje bij $2 (\frac{1}{2} a + b)$ en bij $a + b$ .
Wat is het verschil tussen die twee?

Distributiewet
in formule
$k (a + b) = k a + k b$

in woorden
als je de som van meerdere termen wilt vermenigvuldigen met een getal, dan moet je alle termen afzonderlijk met dat getal vermenigvuldigen en de uitkomsten optellen.

Je kunt ook een distributiewet met ‘delen door $k$ ’ in plaats van ‘vermenigvuldigen met $k$ ’ formuleren.

Neem over en vul aan:
$\frac{a + b}{k} = \frac{a}{...} + \frac{...}{...}$

Pas de distributiewet toe.

$\frac{6 a - 8}{2}$	$\frac{6 a + 9 b + 12}{3}$
$\frac{6 a - 8 b}{2}$	$\frac{x^{2} + 5 x}{x}$

Op boeken zit het lage BTW-tarief van $6$ %.
Een boek kost exclusief BTW € $15$ .

Wat is de prijs inclusief BTW?

Een boek kost inclusief BTW € $19,95$ .

Wat kost het exclusief BTW?

Noem de prijs van een boek (in euro) exclusief BTW $e$ en inclusief $i$ .
Je vindt $i$ door $e$ met een getal te vermenigvuldigen.

Welk?

Laat zien hoe dit uit de distributiewet volgt.

Pas de distributiewet toe.

$30 (\frac{1}{3} + \frac{2}{5} + \frac{5}{6})$	$6 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y)$
$‐ \frac{1}{4} (4 x - 1)$	$4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{8} y + \frac{1}{12} z)$

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

$2 (x - 4) + 3 (5 - x)$	$(3 x + 2) - 2 (x - 3)$
$‐5 (x + 2) - 2 x + 10$	$3 + x - 2 (x + 1)$
$6 - 2 (x + 5) - 12 x$	$x - 3 (2 x - 1) + 7 x$

Ad gaat de distributiewet toepassen: $3 \cdot (a b) = 3 a \cdot 3 b$ .

Wat is je commentaar?

We stellen $a$ voor door een lijnstuk van $1$ cm en $b$ door een lijnstuk van $2$ cm. Dan is $a b$ de oppervlakte van een rechthoek van $1$ bij $2$ cm.

Teken een plaatje bij $3 \cdot (a b)$ en een plaatje bij $3 a \cdot 3 b$ .

Twee uitdrukkingen: $2 {(a + 1)}^{2}$ en ${(2 a + 2)}^{2}$ .
Hieronder staat een plaatje van $2 {(a + 1)}^{2}$ .

Maak ook een plaatje bij ${(2 a + 2)}^{2}$ .

De vormen $2 {(a + 1)}^{2}$ en ${(2 a + 2)}^{2}$ zijn dus niet gelijk.

Schrijf beide zonder haakjes.

Goed of fout

We vragen ons af of ${(x + y)}^{2} - {(x - y)}^{2} = 4 x y$ een juiste formule is.

Zeg met je eigen woorden wat we onder een juiste formule verstaan.

Vul enkele getallen voor $x$ en $y$ in om de formule te testen.
Zijn rechter- en linkerlid steeds gelijk?

We substitueren voor $x = 2 t$ en voor $y = t$ in de formule (dat wil zeggen: we vullen in de formule $2 t$ in plaats van $x$ en $t$ in plaats van $y$ in). Je krijgt dan:
${(2 t + t)}^{2} - {(2 t - t)}^{2} = 4 \cdot 2 t \cdot t$ , dus ${(3 t)}^{2} - t^{2} = 8 t^{2}$ .

Is dit een juiste formule?

Werk de haakjes in ${(x + y)}^{2} - {(x - y)}^{2} = 4 x y$ weg en vereenvoudig zoveel mogelijk.
Krijg je als antwoord $4 x y$ ?

We vragen ons in deze opgave af of $(x^{2} + 1) (x^{2} + 24) = 10 x (x^{2} - x + 5)$ een juiste formule is.

Test de formule voor $x = 1$ , voor $x = 2$ , voor $x = 3$ en voor $x = 4$ .

Test de formule voor nog een ander getal. Is de formule juist voor elk getal $x$ ?

Om aan te tonen dat een formule niet juist is voor alle getallen, hoef je maar één getal te geven waarvoor de formule niet klopt. We spreken dan van een tegenvoorbeeld.
Om aan te tonen dat een formule wel juist is voor alle getallen, zou je in principe alle getallen moeten testen, maar dat is praktisch niet uitvoerbaar. Je kunt bijvoorbeeld rekenregels gebruiken om te bewijzen dat een formule voor alle getallen juist is.

Onderzoek elk van de volgende formules op hun juistheid. Geef in het geval de formule onjuist is een tegenvoorbeeld.

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{x + y}$	$\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$
$\| x \| + \| y \| = \| x + y \|$	$\| x \| \cdot \| y \| = \| x \cdot y \|$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x + y}$	$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{x \cdot y}$
$3 - (x + y) = 3 - x + 3 - y$	$3 + (x \cdot y) = 3 + x \cdot 3 + y$
$2^{x + y} = 2^{x} + 2^{y}$	$2^{x \cdot y} = 2^{x} \cdot 2^{y}$

Onderzoek voor welke getallen $x$ en $y$ de volgende formules wel juist zijn.

$x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2}$

$| x | + | y | = | x + y |$

Opmerking:

De formule $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{x \cdot y}$ is niet zinnig (heeft geen betekenis) voor $x = 0$ of voor $y = 0$ . Voor alle waarden waarvoor de formule zinnig is (betekenis heeft) is hij juist.
De formule $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x + y}$ is niet zinnig als $x = 0$ , $y = 0$ of $x + y = 0$ . In alle andere gevallen heeft de formule betekenis, maar is hij onjuist.

De volgende formules zijn niet zinnig voor alle getallen $x$ . Onderzoek voor welke getallen $x$ ze zinnig en juist zijn.

$\sqrt{x^{2}} = x$	$\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$	${\sqrt{x}}^{4} = x^{2}$
$3 \sqrt{x} = \sqrt{9 x}$	$\frac{1}{\frac{1}{x}} = x$	${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 1$

Geef aan of de gelijkheid goed of fout is.

$2 \cdot 2^{3} = 4^{3}$	${(4 x)}^{3} = 4 x^{3}$
$2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7}$	$2^{9} : 2^{3} = 2^{3}$
${(‐ x)}^{4} = x^{4}$	${(‐ x)}^{4} = ‐ x^{4}$
${(‐ x)}^{5} = x^{5}$	${(‐ x)}^{5} = ‐ x^{5}$

Wat moet er ingevuld worden?

${(3 a)}^{5} = 3 a \cdot 3 a \cdot 3 a \cdot 3 a \cdot 3 a = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = ... \cdot a^{5}$

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

${(3 a)}^{5} + 2 a^{5}$	${(3 a)}^{5} - 2 a^{5}$
${(3 a)}^{5} \cdot 2 a^{5}$	${(3 a)}^{5} : (2 a^{5})$

${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$

Leg aan de hand van nevenstaand plaatje uit dat dit een juiste formule is.

Waarom werkt de uitleg bij a niet als $x$ of $y$ negatief is?

Substitueer voor $x = t$ en voor $y = ‐ t$ in de formule en ga na dat je dan een juiste formule krijgt.

We kunnen de formule bewijzen uitgaande van rekenregels.
Uit de distributiewet volgt:
${(x + y)}^{2} = (x + y) \cdot (x + y) = (x + y) x + (x + y) y$ .

Werk nu de haakjes verder weg en vereenvoudig.

${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$

Substitueer in de formule voor $x = t$ en voor $y = t$ , en ga na of dat iets oplevert wat klopt.

Leg aan de hand van onderstaande figuur uit dat ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ een juiste formule is.

Voor negatieve getallen is b geen bewijs. We kunnen een bewijs geven door rekenregels te gebruiken. Er geldt:
${(x + y)}^{3} = (x + y) (x^{2} + 2 x y + y^{2})$ , en
$(x + y) (x^{2} + 2 x y + y^{2}) = (x + y) x^{2} + (x + y) \cdot 2 x y + (x + y) y^{2}$ volgens de distributiewet.

Werk in de laatste vorm de haakjes weg en vereenvoudig.

Hoe ziet de formule eruit als je voor $y = 1$ substitueert?
Je krijgt (neem over en vul aan): ${(x + 1)}^{3} = x^{3} + ...$ .

De distributiewet kun je in twee richtingen toepassen.

Zonder haakjes schrijven:
je vervangt $k (a + b)$ door $k a + k b$ .
Buiten haakjes halen:
je vervangt $k a + k b$ door $k (a + b)$ .

Voorbeeld:

$3 k a + 6 k b = 3 k (a + 2 b)$	$3 k$ buiten haakjes gehaald
$3 \cdot 2^{x} + x \cdot 2^{x} = (3 + x) \cdot 2^{x}$	$2^{x}$ buiten haakjes gehaald
$x \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} = \sqrt{x + 1} \cdot (x + 2)$	$\sqrt{x + 1}$ buiten haakjes gehaald
$(x + 2) (x + 1) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 4)$	$(x + 2)$ buiten haakjes gehaald

Haal buiten haakjes.

$(x - 3) (x + 4) + (5 - x) (x + 4)$	$x (2 x + 1) + (x + 1) (2 x + 1)$
$2 \sqrt{x} + x \sqrt{x}$	$x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}$
$x - \sqrt{x}$	$x^{3} - x^{2}$