Verhoudingen

Definitie
Hoeveelheden van soort A en van soort B verhouden zich als
3 : 5 betekent: bij elke 3 eenheden van A horen 5 eenheden van B, en omgekeerd.

Als je de verhouding van twee hoeveelheden geeft, gaat het niet om absolute aantallen, maar om hoeveel keer zo groot de ene hoeveelheid is als de andere, en dat dan liefst uitgedrukt met (zo klein mogelijke) gehele getallen.

Bij verhoudingen mag je ter vereenvoudiging elk getal met eenzelfde getal vermenigvuldigen, of door eenzelfde getal delen. Bijvoorbeeld:
12 : 28 : 40 = 3 : 7 : 10 (alles delen door 4)
2,4 : 1,8 = 24 : 18 = 4 : 3 (eerst keer 10, dan delen door 6)

Voorbeeld:

De prijzen voor een schaap en een koe verhouden zich 3 : 11 . Als een koe 600  euro kost, dan kost een schaap
3 11 × 600 164  euro.
Als een boer voor een schaap en een koe samen 700  euro heeft betaald, dan heeft de koe 11 14 × 700 = 550  euro gekost en het schaap 3 14 × 700 = 150  euro.

Vergroten en verkleinen
  • Als je een vlakke figuur in beide richtingen (horizontaal en verticaal) met factor f vermenigvuldigt, wordt zijn oppervlakte met f 2 vermenigvuldigd.

  • Als je een ruimtelijke figuur in alledrie de richtingen (naar voren, naar opzij, naar boven) met factor f vermenigvuldigt, wordt zijn inhoud met f 3 vermenigvuldigd.


Overzichtelijk in een tabel:

eenheid

factor

lengte

m, dm, of ...

f

oppervlakte

m2, dm2, of ...

f 2

inhoud

m3, dm3, of ...

f 3

Ook voor het gewicht geldt de factor f 3 .

Oppervlaktediagrammen
Bij oppervlaktediagrammen is de oppervlakte maatgevend.

Zijn de afmetingen k keer zo groot, dan is de bijbehorende waarde k 2 keer zo groot.
Andersom: als de oppervlakte bijvoorbeeld 3 keer zo groot is, zijn de afmetingen 3 1,73 keer zo groot.

Rechthoeken

Rechthoeken zijn verschillend van vorm. Ze variëren van vierkant tot zeer langwerpig.
We letten op de verhouding van de zijden.
Bij een vierkant is die verhouding 1 : 1 .


Rechthoeken waarbij de verhouding tussen hoogte en breedte hetzelfde is heten gelijkvormig.


Wanneer zijn twee rechthoeken gelijkvormig? Dat kun je op meerdere manieren zeggen.

  • Twee rechthoeken zijn gelijkvormig als de verhouding van de zijden bij beide rechthoeken hetzelfde is.

  • Twee rechthoeken zijn gelijkvormig als de ene rechthoek uit de andere ontstaat door een vergroting (of verkleining).
    De ene zijde wordt vermenigvuldigd met een zekere factor en de andere zijde wordt met dezelfde factor vermenigvuldigd.

  • Als gelijkvormige rechthoeken in dezelfde stand staan, dan lopen de diagonalen evenwijdig.

  • Als twee gelijkvormige rechthoeken onderling een kwartslag gedraaid zijn, staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

A-formaten
De verhouding van de zijden van een A-formaat is 1 : 2 .
Als je een A-formaat papier dubbelvouwt, krijg je weer een A-formaat.
Alle vellen van een A-formaat zijn gelijkvormig.
Het grootste A-formaat is een A0-vel en heeft een oppervlakte van 1 m2.
Een A1-vel krijg je door een A0-vel dubbel te vouwen (of doormidden te snijden). Etc.


Gulden rechthoek

Een gulden rechthoek is een rechthoek met de volgende eigenschap:
Als je er een vierkant van af knipt, krijg je een rechthoek die gelijkvormig is met de oorspronkelijke rechthoek.

De verhouding van de zijden van een gulden rechthoek is 1 : φ (de Griekse letter phi, spreek uit fie).

Hierin is φ = 1 + 5 2 1,6180... .
φ is de positieve oplossing van de vergelijking x 2 x 1 = 0 .

Als een lijnstuk verdeeld is in twee stukken die zich verhouden als 1 : φ , zeggen we dat het lijnstuk verdeeld is volgens de gulden snede.

Regelmatige veelhoeken

Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot.

Een aantal bekende feitjes over hoeken:

  • De som van de hoeken van een driehoek is 180 ° .

  • Een gestrekte hoek is 180 ° .

  • Een totale draaiing rondom een punt is 360 ° .

  • De twee basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.


De grootte van een hoek van een regelmatige n -hoek: ( n 2 ) × 180 ° n .


Een diagonaal is een verbindingslijnstuk tussen twee hoekpunten van een veelhoek die geen buren zijn van elkaar.
Een driehoek heeft geen diagonalen.
Aantal diagonalen van een n -hoek = ( n 3 ) × n 2 .

Van elk vierkant is een diagonaal 2 keer zo lang als een zijde.
Een rekenmachine geeft 2 1,4142... .

De regelmatige vijfhoek

Het getal φ = 1 2 + 1 2 5 speelt een grote rol bij de regelmatige vijfhoek en het pentagram.
φ = 1 2 + 1 2 5 1,6180... wordt het gulden getal genoemd.
Er geldt: φ 2 = φ + 1 .

Een diagonaal van een regelmatige vijfhoek wordt door een andere diagonaal gesneden in twee stukken die zich verhouden als 1 : φ .
Met andere woorden:
De diagonalen van een regelmatige vijfhoek verdelen elkaar volgens de gulden snede.