5C.5  De gulden rechthoek >

Een gulden rechthoek is een rechthoek met de volgende eigenschap:
Als je er een vierkant van af knipt, krijg je een rechthoek die gelijkvormig is met de oorspronkelijke rechthoek.

1

Knip twee rechthoeken van 13 bij 8 cm.
Knip van een van de rechthoeken een vierkant af; je houdt een kleinere rechthoek over.

a

Onderzoek of de grote rechthoek en de kleinere rechthoek gelijkvormig zijn.

b

Bereken het quotiënt lengte breedte voor de grote rechthoek en ook voor de kleinere rechthoek die je overhield.

Je ziet dat de verhouding van de zijden van de grote en van de kleinere rechthoek niet precies gelijk zijn (het scheelt niet veel!) Dus zijn ze de rechthoeken niet gelijkvormig (hoewel ze dat op het eerste gezicht wel lijken te zijn). Dus is de 13 × 8 -rechthoek geen gulden rechthoek. (Maar hij zit wel dicht bij een gulden rechthoek.)

Als je een vierkant afknipt van een 8 × 5 -rechthoek houd je weer een rechthoek over; en je kunt dat proces daarna nog een aantal keer herhalen.

c

Maak een tabel voor de afmetingen van de rechthoeken: elke volgende rechthoek krijg je door een vierkant van de vorige rechthoek af te knippen.

lengte

8

breedte

5


Als je van een rechthoek een vierkant af knipt, houd je een rechthoek over, die in het algemeen niet gelijkvormig is met de rechthoek waarmee je begon. Dat zagen we in de vorige opgave.
Bestaat er wel een gulden rechthoek? Ofwel: is het wel mogelijk dat de rechthoek die je overhoudt gelijkvormig is met de oorspronkelijke?
Ja, zo'n rechthoek bestaat en die gaan we zoeken in de volgende opgave.

2

Noem de korte zijde van de rechthoek 1 en de lange zijde x .

a

Wat zijn de zijden van de rechthoek die overblijft als je er een vierkant vanaf knipt?

We zoeken nu díe waarde van x , waarbij de grote en de kleinere rechthoek gelijkvormig zijn.
Van de grote rechthoek is de korte (verticale) zijde 1 . Van de kleinere rechthoek is de korte zijde x 1 .
We moeten de grote rechthoek dus met x 1 vermenigvuldigen om er de kleinere rechthoek van te maken.

b

Leg uit dat hieruit volgt dat x ( x 1 ) = 1 .

c

Leidt hieruit af dat x 2 x 1 = 0 .

d

Bereken de exacte waarde van x . Geef ook de waarde afgerond op 3 decimalen.

(hint)
Gebruik de abc-formule: a x 2 + b x + c = 0 heeft oplossingen x = b ± b 2 4 a c 2 a .

Rechthoeken met de verhouding 1 : 1 + 5 2 van de zijden noemt men gulden rechthoeken.

Sommigen vinden dat een gulden rechthoek de perfecte, de mooiste, ideale vorm heeft.
De beroemde Zwitserse architect Le Corbusier (1887-1965) paste vaak de gulden verhouding toe in zijn ontwerpen. Een voorbeeld is het gebouw van de Verenigde Naties in New York, dat bestaat uit drie op elkaar gestapelde gulden rechthoeken.
Ook de experimenten van Gustaf Fecher zouden wijzen in deze richting (zie opgave 29 en tekst bij deze opgave). Er zijn mensen die zover gaan dat ze denken dat deze rechthoeksvorm fundamenteel is in de natuur.

Aanhangers van de gulden rechthoek vinden dat hij mooi past op het Parthenon in Athene, zoals hierboven te zien is. Sommigen menen dat deze perfecte verhouding gebruikt is bij het ontwerp van dit bouwwerk en zelfs in de piramiden van Cheops menen zij de verhouding te herkennen. Maar inmiddels is men tot het inzicht gekomen dat dit slechts 'mythen' zijn en deze verhouding (waarschijnlijk) bij toeval in de bouwwerken in de oudheid voorkomen.

Het getal x dat in opgave 43 is berekend, heeft een eigen naam gekregen. (Zoals het getal π 3,1415... een eigen naam heeft.)
Het getal heet φ (de Griekse letter phi, spreek uit fie).
Dus: φ = 1 + 5 2 1,6180... .
De verhouding van de zijden van een gulden rechthoek is 1 : φ .
Hierbij is φ de positieve oplossing van de vergelijking
x 2 x 1 = 0 .

Later in dit hoofdstuk komen we nog op φ terug.

Ook zouden schilders bij voorkeur gebruik maken van de gulden rechthoek, bewust of onbewust. Zo zou Leonardo da Vinci de gulden rechthoek hebben toegepast in het ontwerpschema van de Mona Lisa en in de Vitruviusman (een studie naar verhoudingen bij het menselijk lichaam).
De Vitruviusman komt voor op de Italiaanse versie van de Euro.
Sceptici zeggen dat je zo wel altijd bij een tekening een gulden rechthoek kunt tekenen.
Vanaf de Renaissance, door de mythevorming rondom de 'gulden verhouding', zijn kunstenaars, architecten en ontwerpers soms wél de gulden verhouding bewust gaan gebruiken in hun werken.

Mona Lisa
Vitruviusman
3

Hieronder staat een lijnstuk. De figuur staat ook op het werkblad. Het lijnstuk is verdeeld in twee stukken die zich verhouden als 1 : φ .
Ga dat na.

 

Als een lijnstuk verdeeld is in twee stukken die zich verhouden als 1 : φ , zeggen we dat het lijnstuk verdeeld is volgens de gulden snede.

4

Hieronder (en op het werkblad) staat het beroemde schilderij De overgave van Breda van Velasquez, 1634-1635.

a

Het schilderij wordt opgedeeld in een onderste deel met het tafereel en een bovenste deel met lucht. Ga na dat op die manier het schilderij verticaal verdeeld wordt volgens de gulden snede.

b

Ga na dat de meest linkse lans de breedte van het schilderij verdeelt volgens de gulden snede.

Onzeker is of Velasquez de gulden snede bewust bij de compositie van het schilderij gebruikt heeft.

Er is een hele cultus ontstaan rond de gulden snede. Er worden magische krachten aan toegekend. Dat wordt ook in de hand gewerkt door zijn naam. Een tweede naam voor de gulden snede is de Goddelijke verhouding, zoals Luca Pacioli hem noemde, eind vijftiende eeuw.


Luca Pacioli (1445-1517), was een Italiaans wiskundige en Franciscaner monnik. Hij was een rondreizende wiskundedocent tot hij in 1497 in Milaan ging werken. Daar werkte hij samen met onder meer de vermaarde kunstenaar en wetenschapper Leonardo da Vinci, die hij wiskundeles gaf. Pacioli publiceerde verschillende werken over wiskunde. In 1497 schreef hij het eerste deel van de Divina proportione (Goddelijke verhouding). Hij bespreekt daarin de wiskunde van de gulden snede. In 1509 breidde hij het boek uit met een verhandeling over verhoudingen in de architectuur. Opvallend genoeg komt de gulden snede daarin niet ter sprake. Luca Pacioli beveelt eenvoudige verhoudingen in de architectuur aan, zoals 1:2, 1:3, 3:4, 2:3, etc.

5
a

Teken een vierkant met een zijde van 6 cm en verdeel het met een horizontale lijn volgens de gulden snede.

b

Teken een rechthoek zoals hieronder: 8 cm bij 0,5 cm.
Verdeel deze met een verticale lijn volgens de gulden snede.

Verhouding is het belangrijkste onderwerp in de architectuur. Dat was al zo bij de beroemde Romeinse architect Vitruvius (85-20 v. Chr.). Hij was meetkundig goed onderlegd en baseerde alle ontwerpen van tempels op vaste verhoudingen. Hij hanteerde een zekere maat, de zogenaamde “modulus”; die kwam steeds een geheel aantal keren terug in alle afmetingen. Hij ontleende de verhoudingen aan het menselijk lichaam. Opvallend is dat de gulden snede geen speciale rol heeft. Pas in de negentiende eeuw wordt de gulden snede gepropageerd als ideale verhouding. Adolf Zeising (1810–1876) deed onderzoek naar verhoudingen in de natuur en in de kunst. Hij raakte ervan overtuigd dat de gulden snede fundamenteel is in alle vormen die streven naar schoonheid in de natuur en op het terrein van figuratieve kunst. De meest perfecte realisering hiervan vindt hij in het menselijk lichaam.


Le Corbusier (1887–1965) is een van de bekendste architecten van de twintigste eeuw. Hij werd als Charles-Edouard Jeanneret geboren in Zwitserland, (halverwege de jaren '20 nam hij de Franse nationaliteit aan). 'Le Corbusier' was het pseudoniem waaronder hij schreef in het tijdschrift Esprit Nouveau; later werd 'Le Corbusier' als naam zijn handelsmerk. Ook ontwierp Le Corbusier meubels en kunstwerken.

Tussen 1940 en 1950 ontwikkelde Le Corbusier de Modulor, een maatsysteem, gebaseerd op de gulden snede. Net als Vitrivius neemt hij verhoudingen die ontleend zijn aan het menselijk lichaam. Die verhoudingen past hij bewust in zijn bouwwerken toe, maar als het hem niet goed uitkomt, wijkt hij daarvan af.

6

De modulor heeft schalen: de blauwe (rechts) en de oker (links). Uitgangspunt zijn een mannelijke figuur van 1829 mm (tot zijn kruin) en met opgeheven hand van 2260 mm. Daarvan worden de andere maten afgeleid. In beide schalen is de verhouding van twee opvolgende maten steeds de gulden verhouding.

a

Ga dat na voor enkele gevallen.

Kies een van de twee reeksen, blauw of oker. Tel in die reeks twee opeenvolgende getallen op.

b

Welk getal krijg je dan in diezelfde reeks?
Controleer of dat op meerdere plaatsen in de reeksen het geval is.

Noem een getal in een van de reeksen a .

c

Wat is dan het getal dat daar direct boven staat?
(Gebruik φ in je antwoord.)
En wat is het getal dat daar weer boven staat?

De bewering is dat a + φ a = φ 2 a .

d

Leg uit dat dit klopt.