De verhouding tussen de zijden

De om ons heen meest voorkomende ruimtelijke vorm is de balk. Denk maar aan een boek, kamer, kast, doos, ... De zes grensvlakken van een balk zijn rechthoeken. Soms is de dikte van de vorm helemaal niet belangrijk; dan kunnen we de vorm zelf als rechthoek opvatten. Dat is bijvoorbeeld het geval bij een schilderij, of een ruit (in een raam).

Eigenlijk komen rechthoeken in de natuur niet voor, omdat alles wel enige dikte heeft. Maar die is soms erg klein. Het gaat dan om de andere twee dimensies.

Weet jij nog andere voorbeelden dan een schilderij en een ruit?

De balk komt vaak voor in het dagelijks leven.

Welke andere wiskundige ruimtelijke vorm komt ook vaak voor?

Rechthoeken zijn verschillend van vorm. Ze variëren van vierkant tot zeer langwerpig. We letten op de verhouding van de zijden.
Bij een vierkant is die verhouding $1 : 1$ .

Hieronder staan twaalf rechthoeken met verschillende verhoudingen van de zijden.

Bij welke van deze twaalf rechthoeken vind jij de verhouding van de zijden het mooist, ofwel, wat vind jij de "mooiste rechthoek" van deze twaalf?

Met de applet mooiste_rechthoek kun je rechthoeken met verschillende verhouding van de zijden maken.

Ga met de applet mooiste_rechthoek op zoek naar de verhouding van "jouw mooiste rechthoek".
Vergelijk de verhouding van jouw mooiste rechthoek met die van anderen.

Welke verhouding vind jij mooi voor tegels op de badkamer, voor een vloerkleed in de huiskamer, voor een felicitatiekaartje?

Welke verhouding van een rechhoek redelijk of mooi is, is natuurlijk erg persoonlijk. Ook hangt het van de omgeving af. Bijvoorbeeld bij een raam in de huiskamer: welke verhouding daarvoor redelijk (of mooi) is, hangt onder andere af van de andere ramen en van de grootte van de huiskamerwand.

Gustav Theodor Fechner (1801 - 1887) was een experimenteel psycholoog in Leipzig. Hij legde proefpersonen een heleboel rechthoeken met verschillende verhoudingen voor, met de vraag welke rechthoek(en) ze het mooist en welke ze het lelijkst vonden. Zijn conclusie was dat de mensen díe rechhoeken kozen waarvan de zijden zich verhouden als ongeveer $1 : 1,6$ , ofwel $5 : 8$ .
Lag "jouw mooiste verhouding" hierbij in de buurt?
Later hebben anderen zijn experimenten in twijfel getrokken.
Wij komen later op deze verhouding $5 : 8$ terug.

Van bijna alle landen is de vlag rechthoekig. Maar ze hebben niet allemaal dezelfde vorm. Zo is de Zwitserse vlag vierkant en de Nederlandse niet. Een land legt officieel vast in welke hoogte-breedteverhouding zijn vlag gemaakt moet worden. Dat noemt men de ratio. Hiernaast staan de vlaggen van Groot Brittannië, Duitsland, Nederland en Zwitserland, alle met een breedte van $30$ mm. Ze zijn achtereenvolgens $15$ , $18$ , $20$ en $30$ mm hoog.

Schrijf voor elk van deze vier vlaggen de verhouding
hoogte : breedte (de ratio dus) zo eenvoudig mogelijk.

Teken de vier vlaggen ook met eenzelfde hoogte van $30$ mm (en de breedte dus aangepast).

De drie banen van de Duitse vlag zijn ook rechthoeken.

Wat is de verhouding van de zijden van zo’n baan?
Wat is de verhouding van de zijden van een baan van de Nederlandse vlag?

De meeste vlaggen hebben de ratio $2 : 3$ , d.w.z. de breedte is $1,5$ keer de hoogte. Maar sommige vlaggen hebben heel aparte verhoudingen.
De ratio van de vlag van Alaska is $125 : 177$ .
De ratio van de vlag van Togo is $500 : 809$ .

Opmerkelijk is de ratio van de vlag van België. Die is $13 : 15$ . De reden van deze ongebruikelijke verhouding is onbekend.

Een vlag van een land kun je in verschillende afmetingen hebben. De groottes verschillen, maar de vorm is hetzelfde. Rechthoeken waarbij de verhouding tussen hoogte en breedte hetzelfde is heten gelijkvormig.

Gelijkvormige rechthoeken

Wanneer zijn twee rechthoeken gelijkvormig? Dat kun je op meerdere manieren zeggen.

(1) Twee rechthoeken zijn gelijkvormig als de verhouding van de zijden bij beide rechthoeken hetzelfde is.

Een rechthoek van $22$ bij $33$ is gelijkvormig met een rechthoek waarvan een zijde $18$ is.

Hoe lang is de andere zijde?
Let op: er zijn twee mogelijkheden.

Een rechthoek van $22$ bij $33$ is gelijkvormig met een rechthoek waarvan een zijde $a$ is.

Hoe lang is de andere zijde (uitgedrukt in $a$ )?
Er zijn weer twee mogelijkheden.

(2) Twee rechthoeken zijn gelijkvormig als de ene rechthoek uit de andere ontstaat door een vergroting (of verkleining).

Dit gebeurt bijvoorbeeld op een (niet te eenvoudig) kopieerapparaat. De ene zijde wordt vermenigvuldigd met een zekere factor en de andere zijde wordt met dezelfde factor vermenigvuldigd.

Een foto van $12$ cm breedte en $16$ cm hoogte wordt op een pagina geplaatst. Hij moet een ruimte van $12$ cm hoogte opvullen.

Met welke factor moet worden vermenigvuldigd?

Hoe breed komt de foto op de pagina?

(3) Als gelijkvormige rechthoeken in dezelfde stand staan, dan lopen de diagonalen evenwijdig.

Getijdenboek
Filips de Stoute Oudenaarde
ca 1450-1460

Van de bladzijden in een boek is een vast rechthoekig deel bedrukt: de zogenaamde zetspiegel. Daarbuiten zit de zogenaamde marge. De marge aan de bovenkant heet het kopwit, aan de onderkant het staartwit en opzij ervan het rugwit en snijwit.

Hoe groot je die delen maakt, is een kwestie van smaak. Er zijn verschillende methodes om de zetspiegel te construeren. Die methodes zijn toepasbaar op elk formaat papier.

De figuur van hierboven staat op het werkblad.

Is bij deze zetspiegel het bedrukte deel gelijkvormig met de hele bladzijde? Kijk naar de diagonalen.

Als een bladzijde niet vierkant is en je maakt de stroken wit om het bedrukte deel even groot, dan is het bedrukte deel niet gelijkvormig met de hele bladzijde.

Onderzoek of dat zo is aan de hand van enkele voorbeelden.

Je hebt een bladzijde van $20$ bij $30$ cm. Je maakt een zetspiegel die gelijkvormig is met de pagina zelf.
Het snij- en rugwit zijn samen $9$ cm breed.

Bereken hoe hoog je dan het kop- en staartwit samen moet maken.

We bekijken een bladzijde met breedte en hoogte die zich verhouden als $5 : 8$ .

Teken (niet te klein) zo'n pagina.

Kies breedten van het rugwit, kopwit, snijwit en staartwit die zich verhouden als $2 : 3 : 3 : 5$ .

Teken twee van zulke zetspiegels op de pagina.

Noem de breedte van het rugwit $x$ (cm).

Hoe groot zijn dan het snijwit, kopwit en staartwit?
Hoe groot zijn dan in jouw tekening de breedte van de zetspiegel en de hoogte van de zetspiegel, uitgedrukt in $x$ ?

Laat zien dat de zetspiegel altijd gelijkvormig is met de hele pagina.

(hint)

Bereken de verhouding

\frac{hoogte}{breedte}

en probeer deze formule te vereenvoudigen.

Een van de methodes om de zetspiegel te bepalen is de volgende: de methode Van de Graaf. Hij werkt met diagonalen. We beginnen met een "spread": dat zijn twee pagina's naast elkaar, zoals bij een opengeslagen boek.

Op het werkblad staat bovenstaande figuur ook.

Probeer uit te vinden in welke volgorde de lijnen getrokken worden om het gekleurde rechthoek, de bladspiegel, uiteindelijk te vinden.

Het kan ook anders. Leg een rooster van $9 \times 9$ rechthoekjes over de spread. Daar past het te bedrukken deel precies in.

Welk deel wordt bedrukt in de methode Van de Graaf?

Wat zijn de verhoudingen rugwit : snijwit?
En kopwit : staartwit?

Spiralen

Iemand legt enkele gelijkvormige rechthoeken in dezelfde stand met de linkeronderhoek op elkaar.

Maak een tekening.
Wat weet je dan te vertellen over de rechtsboven-hoekpunten?

Teken een rechthoek en kies willekeurig drie punten op een van zijn diagonalen. Trek door die punten lijnen evenwijdig aan de zijden van de rechthoek.

Zie je gelijkvormige rechthoeken in de figuur die je dan hebt? Hoeveel?

Iemand legt twee gelijkvormige rechthoeken met een hoek op elkaar, maar nu in verschillende stand: de ene rechthoek is een kwartslag gedraaid ten opzichte van de andere.

Maak een tekening.

Een diagonaal van de ene rechthoek staat loodrecht op een diagonaal van de andere rechthoek.

Leg dit uit.

Teken twee lijnstukken, loodrecht op elkaar; zoals hiernaast.
Teken de rechthoek waarvan het ene lijnstuk een diagonaal is en ook de rechthoek waarvan het andere lijnstuk een diagonaal is; beide rechthoeken met horizontale en verticale zijden.

Leg uit dat de twee rechthoeken gelijkvormig zijn.

(hint)

Draai een van de rechthoeken een kwartslag.

Hieronder staan zes rechthoeken.

Een volgende rechthoek krijg je steeds door de vorige met dezelfde factor te vermenigvuldigen, namelijk $0,64$ . De rechthoeken zijn dus gelijkvormig. Dat kun je ook aan hun diagonalen zien. De rechthoeken zijn om en om licht- en donkergrijs. De donkergrijze draaien we een kwartslag. Vervolgens leggen we er een spiraal mee.

Let op de diagonalen: die maken rechte hoeken.

Kun je uitleggen waarom de hoeken tussen de diagonalen recht zijn?

Maak zelf ook zo'n spiraal. Begin met een rechthoek van 5 bij 10 cm. Vermenigvuldig de zijden steeds met $0,75$ om de volgende rechthoek te maken.

Met de applet rechthoekenspiraal kun je eenvoudig zo'n spiraal van rechthoeken tekenen met andere verhoudingen van de zijden van de rechthoeken en een andere factor om telkens de volgende rechthoek te maken.
Je kunt de instellingen zo kiezen dat de spiraal precies tegen zichzelf aan komt, zoals in de figuur hiernaast. De spiraal vult dan precies een rechthoek op.

Onderzoek met de applet bij rechthoeken waarvan lengte:breedte = 3:2 bij welke factor de spiraal precies tegen zichzelf aan komt.

De spiraal vult precies een rechthoek op als geldt:
$f = \frac{‐ 1 + \sqrt{1 + 4 v^{2}}}{2 v}$ .
Hierin is $v = \frac{lengte}{breedte}$ van de rechthoeken en $f$ de factor tussen opeenvolgende rechthoeken in de spiraal.

Bereken de factor $f$ van de vorige vraag afgerond op 3 decimalen met deze formule. Had je met de applet de juiste waarde gevonden?

We hebben nu een vierde manier gevonden waarmee je kunt nagaan of twee rechthoeken gelijkvormig zijn.

(4) Als twee gelijkvormige rechthoeken onderling een kwartslag gedraaid zijn, staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

A-formaten

We gaan twee soorten rechthoeken uitgebreid behandelen: de A-formaten en in een volgend hoofdstuk gulden rechthoeken.

Knip een rechthoekig vel papier van 15 bij 20 cm.
Vouw het beurtelings horizontaal en verticaal dubbel.
Noem de rechthoek waarme je begon $R_{0}$ , de eerste dubbelgevouwen rechthoek $R_{1}$ , die weer dubbelgevouwen heet $R_{2}$ , enzovoort.

Ga na dat de rechthoeken $R_{0}, R_{2}, R_{4},...$ gelijkvormig zijn.
Ga na dat ook $R_{1}, R_{3}, R_{5},...$ gelijkvormig zijn.

Stel dat je was begonnen met een vierkant vel papier.

Ga na dat ook dan $R_{0}, R_{2}, R_{4},...$ gelijkvormig zijn. En ook $R_{1}, R_{3}, R_{5},...$ .

We gaan verder met het vouwen in opgave 38.
De rechthoeken met een even nummer zijn onderling gelijkvormig en ook de rechthoeken met een oneven nummer. Maar in opgave 38 was een rechthoek met even nummer niet gelijkvormig met een rechthoek met oneven nummer.
Bij een speciale verhouding van de zijden van de beginrechthoek $R_{0}$ zijn alle rechthoeken $R_{0}, R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4}, R_{5},...$ gelijkvormig.

Probeer uit te zoeken hoe groot de verhouding van de zijden van $R_{0}$ in dat geval (ongeveer) moet zijn.

We gaan deze verhouding berekenen.
Neem daarvoor aan dat de korte zijde van $R_{1}$ lengte $1$ heeft. De lange zijde van $R_{1}$ noemen we $x$ . Zie figuur hiernaast.

Wat zijn dan de zijden van rechthoek $R_{0}$ ?

Omdat we nu willen dat $R_{0}$ en $R_{1}$ gelijkvormig zijn is er een vermenigvuldigingsfactor die de zijden van $R_{1}$ omrekent naar de zijden van $R_{0}$ .
Aan de korte zijde van $R_{0}$ en $R_{1}$ kun je zien dat die factor $x$ is.
Let nu op de lange zijde van $R_{0}$ :

je weet hoe lang die zijde is (vraag b);
je krijgt die lengte ook door de lange zijde van $R_{1}$ met factor $x$ te vermenigvuldigen.

Welke vergelijking moet dus voor $x$ gelden?

Hoe groot is $x$ dus exact? En afgerond op 2 decimalen?

Hoe groot is $x$ als we voor de korte zijde van $R_{1}$ niet $1$ gekozen hadden, maar $10$ ?

Hoe groot is $x$ als we voor de korte zijde van $R_{1}$ niet $1$ gekozen hadden, maar $a$ ?

Hoe groot is de verhouding $breedte : lengte$ bij $R_{0}$ in al deze gevallen?

De blaadjes waarop jouw proefwerken staan gedrukt, hebben deze verhouding die in opgave 39 is berekend: als je ze dubbelvouwt (of middendoor snijdt) krijg je een rechthoek die gelijkvormig is met het oorspronkelijke vel. Diezelfde verhouding tref je vaak aan bij een krantenpagina, bij briefkaarten, enz.
Je noemt dat een A-formaat. Dat papierformaat wordt tegenwoordig het meest gebruikt.
Het grootste A-formaat is A0. Dat is een vel met een oppervlakte van 1 m², waarvan de hoogte $\sqrt{2}$ ( $\approx 1,4143$ ) keer zo groot is als de breedte.
Het papierformaat A0 wordt veel gebruikt bij bouwtekeningen door architecten en ingenieurs.

De verhouding van de zijden van een A-formaat is $1 : \sqrt{2}$ .
Als je een A-formaat papier dubbelvouwt, krijg je weer een A-formaat.
Alle vellen van een A-formaat zijn gelijkvormig.

De verhouding van de zijden $1 : \sqrt{2}$ hadden we ook al in opgave 22 gezien.

Een A0-vel heeft een oppervlakte van 1 m² en heeft verhouding $1 : \sqrt{2}$ van de zijden.

Bereken hiermee de afmetingen van een A0-vel in mm.

Een A1-vel krijg je door een A0-vel dubbel te vouwen (of doormidden te snijden).

Wat is dus de oppervlakte van een A1-vel?
En wat zijn de afmetingen?

Maak een tabel zoals hieronder.

	oppervlakte (m²)	lengte (mm)	breedte (mm)
A0
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10

Veel van deze groottes kom je dagelijks tegen.

Probeer van elk een voorbeeld te vinden.

Hoeveel A6-jes passen er op een A1-vel?

Ook met de A-formaten A0, A1, A2, A3, A4, ... kun je een spiraal maken zoals in opgave 37.

Teken (met de hand of met de applet rechthoekenspiraal ) de spiraal met A-formaten.

De spiraal met A-formaten is dus zo'n bijzondere spiraal waarbij de rechthoeken direct op elkaar aansluiten. Er blijven geen ruimtes over en als je de spiraal oneindig lang zou kunnen vervolgen, zou een hele rechthoek exact worden opgevuld.
Hiernaast staan de eerste 3 rechthoeken van de spiraal met A-formaten.

Leg uit (bijvoorbeeld met berekeningen) dat de volgende A-formaat precies past in de overgebleven ruimte.

In opgave 37 zijn we de volgende formule tegengekomen voor het geval de spiraal precies een rechthoek opvult:
$f = \frac{‐ 1 + \sqrt{1 + 4 v^{2}}}{2 v}$ .
Hierin is $v = \frac{lengte}{breedte}$ van de rechthoeken en $f$ de factor tussen opeenvolgende rechthoeken in de spiraal.

Controleer deze formule voor de A-formaten.

We letten nu op de diagonalen die de spiraal vormen. We weten dat de hoeken recht zijn.
Hiernaast zijn de diagonalen om en om licht en donker gekleurd.

Toon aan dat een licht gekleurde diagonaal half zo lang is als de vorige licht gekleurde diagonaal.

Er is een punt waar de diagonalen omheen lijken te draaien. Dat centrale punt is het zogenaamde oog O van de spiraal.

Hiernaast (en op het werkblad) zijn de eerste vier diagonalen van de spiraal getekend.

Hoe kun je snel het oog van de spiraal vinden? Teken het oog.

(hint)

Kijk naar de spiraal van vraag c: de knikken van een lichte naar een donkere diagonaal liggen op een rechte lijn; ook de knikken van een donkere naar lichte diagonaal liggen op een lijn.