Lengte, oppervlakte en inhoud

foto van Mars, 23-08-2003
Hubble Space Telescope
Bron: http://en.wikipedia.org

Ik las in de krant dat Mars ongeveer half zo groot is als de aarde.

Wat vind jij dat deze informatie vertelt?

Je kunt de informatie over Mars op drie manieren interpreteren. Het kan namelijk over de diameter, de oppervlakte en het volume gaan.

Bij de volgende uitspraken ligt één interpretatie voor de hand.

Duitsland is bijna 9 keer zo groot als Nederland.
Een "fluitje" bier is half zo groot als een "emmertje".
Karel is anderhalf keer zo groot als Marietje.

Op welk aspect let je in deze drie voorbeelden: lengte, oppervlakte of inhoud?

We vergelijken de aarde met de maan.

	diameter (km)	oppervlakte (km²)	inhoud (km³)
aarde	$12.756$	$511.186.000$	$1.086.871.300.000$
maan	$3.476$	$37.959.000$	$21.990.643.000$

Hoeveel keer zo groot is de aarde als de maan, in elk van de drie aspecten?

In het tuincentrum worden plantjes Delphinium Atlantis (blauwe Ridderspoor) te koop aangeboden. De aanbevolen plantdichtheid is 7 plantjes per vierkante meter.

Hoe ver moet ik die dan ongeveer van elkaar zetten?

In humusrijke aarde komen wel $400$ regenwormen voor per vierkante meter. 's Zomers leven ze dicht onder de oppervlakte. Iemand steekt met zijn schop humusrijke aarde uit zijn tuin. De schop maakt een gat van $15$ bij $15$ cm.

Hoeveel regenwormen mag je daarin verwachten?

Je spreekt van een "blinde" muur als hij geen ramen of deuren heeft. Een steen is $21$ cm lang en $7$ cm hoog. Verder moet je rekening houden met de voegen: die zijn $1,5$ cm breed.

Hoeveel stenen heb je gemiddeld nodig per m² blinde muur?

Veronderstel nu dat we alle afmetingen halveren, dus dat de stenen $10,5$ cm bij $3,5$ cm zijn en de voegen $0,75$ cm.

Kun je snel zeggen hoeveel stenen je in dit geval gemiddeld nodig hebt per m² blinde muur? (Niet opnieuw de berekening van vraag c uitvoeren.)

We moeten duidelijk zijn als we spreken over "groter" of "kleiner". Hebben we het dan over lengte, oppervlakte of inhoud?

Opmerking:

Je moet bij lengte, oppervlakte en inhoud goed rekening houden met de eenheden. Soms moet je die ook eerst omrekenen. Als je dit moeilijk vindt, kun je dat oefenen met de volgende applets.

Figuren vergroten

Een aquarium had vroeger randen van hoekijzer, tegenwoordig worden ze ook helemaal van glas gemaakt. De glasplaten worden met een speciale lijm aan elkaar vastgemaakt. De drie aquaria hieronder zijn van boven open. De maten staan erbij in decimeters.

Zijn de aquaria gelijkvormig? Waarom?

Maak een tabel zoals hieronder en vul de lege plekken in.

	kleinste	middelste	grootste
totale lengte lijmnaden
totale oppervlakte glas
inhoud (dm³ of liter)

Hoeveel keer past het kleine aquarium in elk van de andere twee?
Laat dat ook zien in de plaatjes op het werkblad door ze erin te tekenen.

Hieronder staat een plaatje van de uitgestorven olifantsvogel. Deze loopvogel kon $3,50$ meter hoog worden, met een gewicht van $500$ kilogram. Hij heeft tot ongeveer 1700 op Madagascar geleefd en is waarschijnlijk door toedoen van de mens uitgestorven.

Op de computer kun je een afbeelding eenvoudig in één richting verkleinen. Beschouw het plaatje linksboven als het originele plaatje.

Tot hoeveel procent is het verkleind om de andere drie plaatjes te krijgen?

Wat is er met de oppervlakte van het originele plaatje gebeurd?

Als je een foto in beide richtingen (lengte en breedte) tot $40 %$ verkleint, wat gebeurt er dan met de oppervlakte?
Wat is de verhouding tussen de oppervlakte van het origineel en de verkleining?

Als je een foto in beide richtingen (lengte en breedte) met $40 %$ verkleint, wat gebeurt er dan met de oppervlakte?
Wat is de verhouding tussen de oppervlakte van het origineel en de verkleining?

Stelling

Als je een vlakke figuur in beide richtingen (horizontaal en verticaal) met factor $f$ vermenigvuldigt, wordt zijn oppervlakte met $f^{2}$ vermenigvuldigd.
Als je een ruimtelijke figuur in alledrie de richtingen (naar voren, naar opzij, naar boven) met factor $f$ vermenigvuldigt, wordt zijn inhoud met $f^{3}$ vermenigvuldigd.

Overzichtelijk in een tabel:

	eenheid	factor
lengte	m, dm, of ...	$f$
oppervlakte	m², dm², of ...	$f^{2}$
inhoud	m³, dm³, of ...	$f^{3}$

Opmerking:

Het gewicht is evenredig met de inhoud: als de inhoud van iets 3 keer zo groot is, dan weegt het natuurlijk ook 3 keer zoveel. Dus ook voor het gewicht geldt de factor $f^{3}$ .

De drie kubussen hiernaast hebben ribben die zich verhouden als $1 : 2 : 3$ .
In elk van de kubussen nemen we een lichaamsdiagonaal: die loopt van een hoekpunt naar het daar tegenover gelegen hoekpunt (door het inwendige van het lichaam).

Hoe verhouden zich de lichaamsdiagonalen?

Hoe verhouden zich de oppervlakten van de kubussen?

Hoe verhouden zich de inhouden van de kubussen?

Het waspoeder Larie wordt verkocht in twee verpakkingen. Van de grote doos zijn de afmetingen $1,5$ keer zo groot als van de kleine doos.
De kleine doos kost € 5,00. De grote doos kost € 16,25. Beide dozen zijn vol.

In welke verpakking is het wasmiddel naar verhouding het duurst?

De stelling kan geïllustreerd worden op de volgende wijze. Neem een heleboel exemplaren van een klein driehoekje (zie figuur hiernaast); dat hoeft geen speciale vorm te hebben. Daarmee kun je grote driehoeken bouwen die gelijkvormig zijn met dat driehoekje:

Hoeveel kleine driehoekjes heb je nodig om elk van deze vier vergrotingen te bouwen?

Wat heeft dit met de stelling te maken?

Claes Oldenburg, geboren in 1929, is een Zweeds-Amerikaans beeldhouwer. Hij heeft verschillende kunstwerken gemaakt die een vergroting zijn van dagelijkse gebruiksvoorwerpen. Bijvoorbeeld de wasknijper ('Clothespin') in Philadelphia (1976). Het beeld is ongeveer $14$ meter hoog.

Een gewone wasknijper is $7$ cm hoog en weegt $6$ gram.
Veronderstel dat het beeld in Philadelphia een goed schaalmodel is van de wasknijper waar je de was mee ophangt en van hetzelfde materiaal gemaakt is.

Wat is dan het gewicht van de reuzenwasknijper? Hoeveel ton is dat?

Het veertje van een gewone wasknijper weegt $2,8$ gram.

Wat weegt de veer van de reuzenwasknijper?

Op 29 oktober 2006 werd een nieuw record Grootste Hamburger gevestigd in Clinton (New Jersey). De diameter van het vleesmonster was $71$ cm.
Een normale hamburger heeft een diameter van $10$ cm en weegt $135$ gram.

Hoeveel zal deze record-hamburger gewogen hebben?
(Inmiddels is het record al weer gebroken.)

In 1889 werd de beroemde Eiffeltoren voltooid: $300$ meter hoog, toen het hoogste bouwwerk ter wereld.
Enkele gegevens:

de toren weegt $7000$ ton, dat is $7$ miljoen kg;
het vierkante grondvlak is ongeveer $16.000$ m² groot;
de vier poten zijn elk $26$ meter breed.

Veronderstel dat je een schaalmodel van de Eiffeltoren gaat maken van hetzelfde materiaal als de toren zelf. Je maakt het model $1$ meter hoog.

Hoe breed worden de poten van je model? Geef je antwoord afgerond op een heel aantal mm.

Hoe groot wordt de oppervlakte van het grondvlak? Geef je antwoord afgerond op een heel aantal cm².

Hoeveel gram gaat je model wegen?

Op $57$ meter hoogte bevindt zich een restaurant met een vloeroppervlakte van $5000$ m².

Hoe hoog is dat in het schaalmodel en hoe groot is daarin het vloeroppervlak?

Een A4-tje is het papierformaat dat het meest gebruikt wordt in printers en kopieerapparaten.
Een A5-je krijg je door een A4-tje dubbel te vouwen.
Een A4-tje en een A5-je zijn gelijkvormig: als je de zijden van een A5-je met een zeker getal vermenigvuldigt, krijg je de zijden van een A4-tje.
Uit stelling 1 volgt welk getal dat is.

Bereken deze factor exact en afgerond op 3 decimalen.

De oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde $1$ is $\frac{1}{4} \sqrt{3}$ en dat is ongeveer $0,433$ .

Wat is de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde $10$ ?

Wat is de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde $z$ ?

Ga met een berekening na dat de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde $1$ inderdaad $\frac{1}{4} \sqrt{3}$ is.

(hint)

Gebruik de stelling van Pythagoras:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

De oppervlakte van een cirkel met straal $1$ is $π$ en dat is ongeveer $3,14$ .

Wat is de oppervlakte van een cirkel met straal $10$ ?

Wat is de oppervlakte van een cirkel met straal $r$ ?

Als je een cirkel met straal $1$ in horizontale richting met factor $2$ oprekt en in verticale richting met factor $3$ , krijg je een ellips.

Wat is de oppervlakte van die ellips?

Als je een cirkel met straal $1$ in horizontale richting met factor $a$ oprekt en in verticale richting met factor $b$ , krijg je een ellips.

Wat is de oppervlakte van die ellips?

Oppervlaktediagrammen

De wereldkaart die iedereen gewend is, geeft een sterk vervormd beeld van de werkelijkheid. Door de gangbare manier waarop de aardbol op een plat vlak wordt geprojecteerd, lijken landen groter naarmate ze dichter bij de polen liggen. Groenland lijkt op kaart 1 twee keer zo groot als de Democratische Republiek Kongo, terwijl het in feite iets kleiner is.

Op kaart 2 is de grootte van de landen wel correct: als een land er bijvoorbeeld 3 keer zo groot uitziet als een ander land, dan heeft dat eerste land in werkelijkheid ook een 3 keer zo grote oppervlakte. Sommige landen zien er sterk vervormd uit, andere niet.

Welke landen worden sterk vervormd?

In plaats van de oppervlakte kun je ook een andere eigenschap van een land door zijn grootte op de kaart weergeven, zoals het aantal inwoners. Zo zie je op kaart 3 in één oogopslag hoe groot het aandeel is van een land in de totale wereldbevolking.

Welke twee landen hebben de meeste inwoners?

In kaart 3 is de bevolkingsdichtheid (dat is het aantal inwoners per vierkante kilometer) maatgevend. Op elke mm² van het kaartje wonen evenveel mensen.

Leg dat uit.

Zo kun je wereldkaarten maken aan de hand van allerlei aspecten. Zie www.worldmapper.org. Bijvoorbeeld:

Militaire uitgaven van een land.
Fruitimport of -export van een land.

Zoek deze kaarten op en beantwoord de volgende vragen:

Wat is de verhouding ongeveer tussen de militaire uitgaven van de VS (inclusief Alaska) en Japan?
Welk land is de grootste fruitexporteur?

Het idee van de kaarten uit opgave 24 is dat de grootte van een land evenredig is met zijn waarde van het af te beelden aspect. Daarbij wordt in dit geval de werkelijke vorm zoveel mogelijk behouden. Maar sommige landen worden toch onherkenbaar. Wel blijft de onderlinge positie correct: bijvoorbeeld ligt de VS tussen Canada en Mexico in, en dat is op elk van die kaarten zo.

Hiernaast zie je een legenda bij een kaart.

Meet de diameters van de cirkels bij de getallen $100$ en $200$ . Hoe groot is de lengte-vergrotingsfactor $f$ ?

Hoe groot is in dit geval de oppervlakte-vergrotingsfactor?
Zijn deze twee cirkels in de juiste verhouding getekend?

We nemen de cirkel bij waarde $100$ als maatgevend.

Hoe groot moet de diameter van de cirkel bij waarde $200$ dan zijn? En bij de andere waarden?

Met hetzelfde idee is de kaart hieronder gemaakt. Er staan de luchthavens op waarvan Schiphol concurrentie ondervindt.

De oppervlakte van een cirkel geeft de grootte van de luchthaven aan: het aantal passagierd dat in 2007 werd vervoerd (in miljoenen).

Ga na of de cirkels "Schiphol" en "Dortmund" in de juiste verhouding zijn getekend.

De VS en Japan hebben het grootste BNP (bruto nationaal product). Dat is wat door mensen in het land met zijn allen totaal in een jaar verdiend wordt. Daarna komen veel landen uit West-Europa. In het kaartje hieronder zijn die landen weergegeven door vierkanten, waarbij de oppervlakte van het vierkant het BNP van het land weergeeft.

Duitsland heeft als nummer drie van de wereld een BNP van 2.900 miljard dollar.

Wat is het BNP van Nederland?

Welk land heeft ongeveer een even groot BNP als België?

Hoeveel keer zo groot is het BNP van Frankrijk als het BNP van Luxemburg?

Het BNP van Frankrijk is veel groter dan dat van Luxemburg. Toch kun je zeggen dat Luxemburg een rijker land is dan Frankrijk.

Leg dat uit.