5A.4 Derdegraadsfuncties >

Hoofdstukken > Veranderingen

In deze paragraaf zoeken we een formule voor de afgeleide van een derdegraadsfunctie.
Een derdegraadsfunctie is van de vorm $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ voor zekere getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ waarbij $a \neq 0$ .
Als we de afgeleide van $x \to x^{3}$ hebben, zijn we klaar (waarom?). Dit gebeurt in de volgende opgave.

${(x + y)}^{3} = {(x + y)}^{2} (x + y) = (......) (x + y)$

Neem bovenstaande over en vul op de stippellijnen het passende in.

(hint)

Dat is dus wat je krijgt als je de haakjes van

{(x + y)}^{2}

wegwerkt.

Laat vervolgens zien dat

{(x + y)}^{3}

geschreven kan worden als

x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}

Als $x = a$ , dan $y = a^{3}$ .
We laten $x$ toenemen tot $a + Δ x$ , dan neemt $y$ toe met $Δ y$ .

Laat met behulp van het vorige onderdeel zien dat
$Δ y = 3 a^{2} Δ x + 3 a {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3}$ .

Schrijf $\frac{Δ y}{Δ x}$ zo eenvoudig mogelijk.

Tot welke waarde nadert $\frac{Δ y}{Δ x}$ als $Δ x$ steeds dichter bij $0$ komt?

Dus als $f : x \to x^{3}$ , dan is de groeisnelheid voor $x = a$ gelijk aan $3 a^{2}$ .

Als $f : x \to x^{3}$ , dan $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ .

Voorbeeld:

Gegeven de functie $f$ met $f (x) = ‐2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + 4$ .
Dan $f^{'} (x) = ‐2 \cdot 3 x^{2} + 4 \cdot 2 x + 3 = ‐6 x^{2} + 8 x + 3$ .

Ga na: als $f : x \to 2 x^{3} - 3 x^{2} + x + 7$ dan: $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x + 1$ .

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ als

$f (x) = 2 x - x^{3}$
$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 4$
$f (x) = 2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 3 (x + 4)$
$f (x) = 2 (x^{2} - 1) (x - 1)$

In opgave 2 had je de fabrikant met de volgende productiekosten-grafiek. Hierbij is $x$ in honderden stuks en $y$ in honderden euro.

Een formule die goed bij de grafiek past is:
$y (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 50 x$ .
In opgave 12 hebben we de marginale kosten bij een productie van $200$ stuks berekend met een rekenschema.
$y^{'} (2)$ is een goede benadering voor die marginale kosten.

Waarom?

Bereken $y^{'} (2)$ en vergelijk dat met het antwoord dat je in opgave 12 gevonden hebt.

Veronderstel: bij een productie van $x$ stuks zijn de kosten $K (x)$ .
Dan worden de marginale kosten bij een productie van $x$ stuks gegeven door $K^{'} (x)$ .
Vaak worden de marginale kosten genoteerd met $M K$ .

We gaan verder met de vorige opgave.
Er geldt: $y^{'} (x) > 0$ voor alle $x$ .

Laat dat langs algebraïsche weg zien.

(hint)

y^{'}

is een kwadratische functie. Je moet blijkbaar laten zien dat de grafiek in zijn geheel boven de

x

-as ligt.

Wat betekent dat voor de grafiek van $y$ ?

Hiernaast staat weer de grafiek van de functie $f : x \to 4 x - x^{3}$ , zie ook opgave 14.
Er geldt: $f^{'} (x) = 4 - 3 x^{2}$ .

Laat dat zien.

Er zijn twee punten op de grafiek waar de raaklijn aan de grafiek horizontaal is.

Bereken de eerste coördinaten van die punten exact.

Bereken exact een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in het punt $(0,0)$ .

Hieronder staat de grafiek van een functie $f$ .

Lees uit de grafiek af voor welke $x$ ongeveer de groeisnelheid van $f (x)$ gelijk aan $0$ is.
Licht je antwoord toe.

Lees uit de grafiek af voor welke $x$ geldt: $f^{'} (x) < 0$ .
Licht je antwoord toe.

Lees uit de grafiek af voor welke waarde van $x$ ongeveer de groeisnelheid van $f (x)$ minimaal is.
Licht je antwoord toe.

Er geldt: $f (x) = 0,001 x^{3} - 0,03 x^{2} - 0,9 x$ .

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ .

Bereken exact voor welke waarden van $x$ de groeisnelheid van $f (x)$ gelijk aan $0$ is.

Bekijk het plaatje bij de vorige opgave.
We zeggen: $f (x)$ is maximaal voor $x = ‐ 10$ , het maximum is $f (‐ 10) = 5$ en minimaal voor $x = 30$ , het minimum is $f (30) = ‐ 27$ .

Als een (gladde) functie $f$ voor een bepaalde waarde van $x$ minimaal of maximaal is, dan is $f^{'} (x) = 0$ .

Opmerking:

De functie $y = \sqrt{x^{2}}$ heeft als grafiek de gebroken lijn hiernaast. Voor $x \geq 0$ liggen de punten van de grafiek op de lijn $y = x$ en voor $x < 0$ op de lijn $y = ‐ x$ .
Voor $x = 0$ bestaat de groeisnelheid niet want:
op elk interval links van $0$ is de groeisnelheid $‐ 1$ en op elk interval rechts van $0$ is de groeisnelheid $1$ .
$y$ is wel minimaal voor $x = 0$ .

Opmerking:

$\sqrt{x^{2}}$ wordt wel de absolute waarde $x$ wordt ook wel geschreven als $| x |$ . Het is de afstand van het getal $| x |$ tot $0$ op de getallenlijn.
De functie $x \to | x |$ is ook op de GR te vinden.

Bereken van de volgende functies $f$ exact de waarden van $a$ waarvoor $f^{'} (a) = 0$ .
Gebruik vervolgens de GR om na te gaan of er voor die waarden van $a$ een maximale of minimale waarde (of geen van beide) bereikt wordt, door de grafiek in een omgeving van het punt met eerste coördinaat $a$ te tekenen.

$f : x \to \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 3$
$f : x \to \frac{1}{2} x^{3} - x^{2} - 2 x + 3$
$f : x \to ‐ \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}$
$f : x \to x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 10$

Opmerking:

Gegeven een functie $f$ .
Als $f^{'} (a) = 0$ voor een zeker getal $a$ , dan hoeft de functie voor die waarde van $a$ niet perse maximaal of minimaal te zijn, zie de laatste functie van de vorige opgave.
Het is verstandig om de grafiek van $f$ in een WINDOW waarin $a$ ligt te tekenen om vast te stellen of $f (x)$ voor $x = a$ maximaal, minimaal of geen van beide is.

De punten $P (3,27)$ en $Q (1,1)$ liggen op de grafiek van de functie $f : x \to x^{3}$ .

Bereken exact de helling van de grafiek van $f$ in het punt $P$ .

Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt $P$ .

Bereken exact in welke punten van de grafiek de raaklijn evenwijdig aan de lijn $O P$ is.

Laat zien dat de raaklijn aan de grafiek in $Q$ de $y$ -as snijdt in het punt $(0,‐2)$ .

Opmerking:

Met de GR kun je een vergelijking van een raaklijn in een punt van de grafiek van een functie produceren.
Hiermee kun je controleren of je een vraag zoals in opgave 45 (bij benadering) goed beantwoord hebt.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = 0,001 x^{3} - 0,03 x^{2} - 0,9 x$ , zie opgave 43. De raaklijn in het punt met eerste coördinaat $20$ snijdt de $y$ -as in $P$ .

Bereken de coördinaten van $P$ exact.
Controleer het antwoord met de GR.