Verschillen in groei

Hieronder en op het werkblad zie je hoe de prijs voor een vat Brent olie zich ontwikkelde van 1 februari 2011 tot 1 februari 2012 (sargasso.nl).

In welke maand kon men zeggen: de olieprijs daalt minder sterk dan in de vorige maand? En in welke maanden: de olieprijs stijgt minder sterk dan in de vorige maand?

De gemiddelde stijging per maand van 1 februari tot 1 juni 2011 was $0,7375$ euro.

Reken dat na.

Teken op het werkblad de grafiek die hoort bij een constante stijging van $0,7375$ euro per maand (te beginnen met een prijs van $76,23$ euro op 1 februari 2011).

De gemiddelde stijging per maand van 1 februari tot 1 januari 2012 was groter dan $0,73$ euro per maand.

Hoe zie je dat met de grafiek zonder te rekenen?

Een fabrikant bestudeert hoe de productiekosten in zijn bedrijf samenhangen met het aantal stuks dat hij maakt.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$y$	$41$	$68$	$87$	$104$	$125$	$156$	$203$

In de tabel is $x$ het aantal stuks (in honderden) en $y$ de kosten in honderden euro.

Met hoeveel nemen de kosten per stuk ongeveer toe als de fabrikant de productie verhoogt van $200$ stuks naar $400$ stuks?

De fabrikant zet de punten uit de tabel in een rooster en tekent een vloeiende lijn door die punten. In de figuur zie je het resultaat.

Nu kun je bijvoorbeeld aflezen tot welk aantal ongeveer er sprake is van afnemende stijging van de kosten.

Doe dat. Licht je antwoord toe.

Drie meisjes hebben hetzelfde traject van $18$ km gewandeld. De wandeling heeft ze alle drie $3$ uur gekost. Hiernaast zijn de grafieken van die wandelingen getekend.

Wat kun je over de gemiddelde snelheden zeggen waarmee de wandelingen zijn afgelegd?

Het derde meisje heeft het eerste anderhalf uur met constante snelheid gelopen.

Met welke snelheid?

Het laatste anderhalf uur heeft ze ook met constante snelheid gelopen.

Met welke snelheid?

Welk meisje ging gedurende de wandeling steeds sneller lopen? Hoe zie je dat aan de grafiek?

Op welke momenten ongeveer liepen het eerste en het derde meisje even hard? Hoe heb je dat met behulp van de grafiek bepaald?

Sven schaatst de $10.000$ meter. Zojuist heeft hij een rondje van $32,0$ seconden gereden. Een rondje is $400$ meter.

Wat is zijn snelheid in m/s? En in km/u?

$t$ is de tijd over een rondje in seconden en $V$ de (gemiddelde) snelheid in m/s tijdens dat rondje. Er geldt: $t \cdot V = 400$ .

Als hij zijn snelheid met $0,3$ m/s verhoogt hoeveel seconden korter doet hij over een rondje?

Marcel doet $40$ seconden over een rondje.

Als hij zijn snelheid met $0,3$ m/s verhoogt hoeveel seconden korter doet hij over een rondje? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Hiernaast staat de grafiek van $t$ als functie van $V$ .

Hoe zie je aan de grafiek dat de tijdwinst die Marcel boekt groter is dan die van Sven?

De skipiste hieronder is vanaf het laagste punt verdeeld in horizontale stukken van $10$ m.

De hoogte noemen we $y$ , de horizontale afstand $x$ (beide in m). Zoals je ziet neemt $y$ op de piste niet overal even snel toe.

Over $130$ meter horizontaal neemt de hoogte $65$ meter toe.

Hoeveel is dat gemiddeld per meter horizontaal?

Dat is de gemiddelde stijging van de hele piste.

Bepaal de gemiddelde stijging van het stukje piste tussen $x = 20$ en $x = 30$ .

Ook voor het stukje tussen $x = 50$ en $x = 60$ .
En voor het stukje tussen $x = 60$ en $x = 70$ .

Hoe steil ongeveer is de helling op de plaats waar de skiër zicht bevindt (zie plaatje); dat is dus bij $x = 60$ ?

Hieronder is de groei van een zonnebloem in beeld gebracht. De grafiek staat ook op het werkblad.

Gedurende een bepaalde periode was de groei nagenoeg constant.

Gedurende welke periode? Hoe heb je dat in de grafiek gevonden?

Bereken de gemiddelde groeisnelheid (in cm/week) van de zonnebloem van de tweede tot en met de zevende week (dat zijn zes weken!).

Op welk moment groeide de zonnebloem het snelst?
Hoe heb je dat antwoord in de grafiek gevonden?

In de voorgaande opgaven speelt de gemiddelde helling op een interval een rol. Met het interval $[3,7]$ bedoelen we alle getallen $x$ met $3 \leq x \leq 7$ .

Gegeven een functie $f$ . De gemiddelde helling van $f$ tussen $a$ en $b$ (of op het interval $[a, b]$ ) is: $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .
In plaats van gemiddelde helling spreken we ook van gemiddelde steilheid of van gemiddelde groeisnelheid.

Helling in een punt

We bekijken de rit van een auto (auto1) vanaf een bepaald moment ( $t = 0$ ). Hiernaast en op het werkblad zie je de grafiek van de afstand $s$ (in meters) die de auto na $t$ sec heeft afgelegd. Er geldt: $s = t^{2}$ .

Heeft de auto een constante snelheid, gaat hij steeds sneller of gaat hij steeds langzamer rijden? Hoe zie je dat aan de grafiek?

Bepaal met behulp van de formule de gemiddelde snelheid op het tijdsinterval $[1,3]$ , dat wil zeggen de tijden $t$ , waarvoor $1 \leq t \leq 3$ .

Het punt op de grafiek met $t = 1$ noemen $A$ en het punt met $t = 3$ noemen we $B$ .

Wat is het verband tussen de gemiddelde snelheid op het interval $[1,3]$ en lijn $A B$ ?

Veronderstel dat de auto vanaf $t = 1$ met dezelfde snelheid zou zijn doorgereden als die hij op $t = 1$ had.

Teken op het werkblad zo goed mogelijk de grafiek die je dan krijgt.
Hoeveel meter zou de auto op $t = 5$ dan in totaal afgelegd hebben?

Een andere auto (auto2) rijdt met constante snelheid van $5 m/s$ . Zijn afgelegde afstand na $t$ seconden is $s_{2}$ .

Teken op het werkblad de grafiek van $s_{2}$ in dezelfde figuur als de grafiek van $s$ .

Op welk moment (ongeveer) reden beide auto's even snel? Hoe heb je dat tijdstip bepaald?

Je kunt je antwoord controleren met deze "GeoGebra-applet" .

De raaklijn aan de grafiek in een punt is de lijn die in dat punt het beste aansluit bij de grafiek. Welke lijn dat is, zie je beter naarmate je meer op dit punt inzoomt. Dat kan bijvoorbeeld met de GR of nog mooier met GeoGebra.
Je zou kunnen zeggen: als je maar ver genoeg inzoomt wordt alles recht.
Dat bekijken we in het vervolg.

In de figuur zie je de profielschets van een bergje getekend door een computer. We willen nauwkeurig weten hoe steil de berg is in het punt $P (2,2 \frac{1}{2})$ .

Om die te vinden gaan we "inzoomen" op een omgeving van $P$ .

Het omkaderde deel in het linker plaatje hierboven is vergroot weergegeven in het rechter plaatje.

Hoe groot ongeveer is de gemiddelde stijging van de berg in het rechter plaatje? Schrijf je berekening op.

Het inzoomen en vergroten herhalen we nog twee keer. Zodoende krijgen we een steeds beter beeld van de steilte van de berg ter plekke $P$ .

Bepaal in elk van de twee rechter plaatjes de gemiddelde stijging.

De grafiek in het laatste plaatje is bijna recht. Dit plaatje geeft daarom een goed beeld van de steilte van de berg ter plekke $P$ .

Hoe groot is die dus?

Opmerking:

Als je de grafiek van een functie op de grafische rekenmachine hebt getekend, kun je ook herhaald inzoomen op een bepaald punt van de grafiek.
Zoek uit hoe dat op jouw GR werkt.

In de figuur is een grafiek getekend. In vier punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ is de grafiek sterk uitvergroot. De stukjes grafiek zien er dan praktisch als een rechte lijn uit. Dat zie je in de vier plaatjes naast de grafiek.

Waar liggen de punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ op de grafiek?
Wat zijn de $x$ -coördinaten van $A$ , $B$ , $C$ en $D$ ongeveer?

Meet hoe steil de grafiek is in elk van deze punten.

Op de grafiek hieronder is het punt $P$ aangegeven. Er zijn zes lijnen getekend door $P$ , genummerd 1 t/m 6.

Welk van de lijnen is de raaklijn?

Wat is de steilte van de grafiek in het punt $P$ ?

Opmerking:

We hebben nu nog geen precieze definitie van de raaklijn gegeven. Dat komt nog wel.
De raaklijn aan de grafiek in een punt is de lijn die in dat punt het beste aansluit bij de grafiek. Dat zie je beter naarmate je meer op dit punt inzoomt.
Dat kan bijvoorbeeld met de GR of in GeoGebra.

Hieronder links zie je de grafiek van de functie $y = 1 \frac{1}{2} \sqrt{x}$ met daarop het punt $P (4,3)$ . In het rechter plaatje is ingezoomd (met factor $5$ ): de grafiek lijkt nagenoeg recht.

Bereken met het rechter plaatje (ongeveer) de helling (richtingscoëfficiënt) van de grafiek in het rechter plaatje.

Dit is de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt $P$ .

In GeoGebra applet "auto1" is de grafiek van auto1 met daarop het punt $A (1,1)$ getekend. Met de schuifknop kun je de lijn door $A$ draaien.

Wanneer (voor welke waarde van $a$ ) sluit deze lijn zo goed mogelijk aan bij de grafiek van auto1? Je kunt inzoomen.

Gegeven is een tijd-afstand-grafiek bij een bewegend voorwerp. De snelheid van het voorwerp op een bepaald moment is de helling (= richtingscoëfficiënt) van de raaklijn in het bijbehorende punt van de grafiek.

In de vorige opgaven hebben we een idee gekregen van wat een raaklijn aan een grafiek is. Hoe steil die raaklijn is, hebben we in een plaatje gemeten. In het volgende gaan we preciezer te werk door te rekenen.