4.6  Rekenen met kansen >
1

Stroomdiagrammen helpen je om kansen te berekenen.
We werpen 1000  keer met drie munten en maken daar als volgt een stroomdiagram bij. We letten eerst op de eerste munt: valt die op kop, dan gaan we bij de eerste wegensplitsing naar boven; valt die op munt, dan gaan we naar beneden. Daarna letten we op de tweede munt; valt die op kop dan gaan we bij de tweede wegensplitsingen naar boven; anders gaan we naar beneden. Evenzo voor de derde munt bij de derde wegensplitsingen. Hieronder zie je het stroomdiagram.

In ongeveer de helft van de gevallen zal de eerste munt op kop vallen en ga je in de eerste wegensplitsing naar boven. Je verwacht dat dat 500 van de 1000  keer zal gebeuren. En je verwacht dus dat je 500  keer naar beneden gaat bij de eerste splitsing. Die getallen 500 zijn allebei al in het stroomdiagram geschreven. Ook staan de kansen (fracties) bij de wegen.

a

Geef op het werkblad aan hoe de aantallen zich verder over de wegen verdelen en schrijf de kansen bij de overige wegen.

b

Kleur in het stroomdiagram de route die hoort bij drie keer kop. Schrijf aan het eind van die route KKK.

c

In hoeveel van de 1000 worpen verwacht je 3 kop?
Wat is dus de kans op 3 kop?

d

Schrijf ook achter de overige routes het resultaat.
Met bijvoorbeeld KKM geef je aan dat de eerste twee munten op kop zijn gevallen en de derde op munt.

e

In hoeveel van de 1000 worpen verwacht je 2 kop en 1  munt?
Wat is dus de kans op 2 kop en 1  munt?

f

Wat is de kans op 1 kop en 2 munt?

g

Wat is de kans op 3 munt?

h

Wat is de som van de hierboven berekende kansen?

2

Een kleine test bestaat uit drie vierkeuzevragen. Je kunt deze vragen op de gok beantwoorden. We zijn geïnteresseerd in het aantal goede antwoorden. We stellen ons voor dat maar liefst 1600 mensen de test op de gok maken. Daarbij hoort het volgende stroomdiagram.

Merk op dat de routes GGF, GFG en FGG samenkomen in hetzelfde eindpunt.

a

Vul het stroomdiagram verder in en zet de aantallen goede antwoorden achter de eindpunten.

b

Wat is de kans dat een gokker alle drie de vragen goed gokt?

c

Wat is de kans dat een gokker precies één vraag fout heeft?

d

Wat is de kans dat een gokker precies twee vragen fout heeft?

e

Wat is de kans dat je alle drie de vragen fout hebt?

f

Hoe kun je de antwoorden op vraag b, c, d en e controleren? Doe dat.

g

Waarom zijn we, denk je, met 1600  mensen zijn begonnen? Maakt het wat uit voor de hierboven berekende kansen als je met een ander aantal begint?

h

Hoeveel mensen hebben de tweede vraag goed? Wat is dus de kans dat een gokker de tweede vraag goed heeft?

3

De minilotto is een spel waarbij je twee nummers van de getallen 1 t/m 4 moet omcirkelen op een formulier. Slechts één combinatie van twee cijfers is winnend. We laten maar liefst 600  mensen dit spel spelen. Hieronder staat een stroomdiagram bij deze situatie.

a

Vul het stroomdiagram verder in. Zet de kansen bij de pijlen en schrijf de resultaten achteraan: 0  goed, 1  goed of 2  goed.

b

Wat is de kans dat je de winnende combinatie van twee cijfers hebt omcirkeld?

c

Bereken ook de kans op 0  cijfers goed en de kans op 1  cijfer goed.

d

Je speelt dertig dagen mee in de minilotto, elke dag met één formulier. Hoe vaak verwacht je dan te winnen?

4

Het is niet nodig om bij de minilotto een heel stroomdiagram te tekenen; met behulp van een zogenaamde kansboom kun je ook de kansen uitrekenen. Een kansboom krijg je door bij een stroomdiagram de aantallen weg te laten; er staan alleen nog kansen bij de takken. Hieronder staat een kansboom voor de minilotto.

Kansen op bepaalde uitkomsten bereken je door de kansen langs de takken te vermenigvuldigen: bijvoorbeeld de kans op 2  cijfers goed is 1 2 1 3 = 1 6 .

a

Leg uit dat je de kans dat precies één van jouw aangekruiste nummers wordt getrokken als volgt kunt berekenen:
1 2 2 3 + 1 2 2 3 .

b

Bereken ook de kans dat geen van jouw aangekruiste nummers wordt getrokken.

Het doel van deze paragraaf is dat je kansen leert berekenen met behulp van kansbomen. Misschien lukt jou dat nu nog niet. Werk dan voorlopig nog met een stroomdiagram. In dat geval moet je wel zelf nadenken over een geschikt aantal om mee te beginnen.

5

Bij een iets grotere minilotto worden drie nummers uit de getallen 1 tot en met 7  getrokken. Op het spelformulier kruist de speler drie nummers uit 1 tot en met 7 aan.

a

Maak bij deze minilotto een kansboom. Schrijf de kansen bij de takken. Geef achter alle takken het behaalde resultaat aan: 0  goed, 1  goed, 2  goed of 3  goed.

b

Wat is de kans op 3  goed bij deze minilotto?

c

Geef ook de kans op 0  goed, de kans op 1  goed en de kans op 2 goed.

Bij de echte lotto worden 6 getallen uit de 45 getrokken.
De speler kruist ook 6 getallen op zijn formulier aan.

d

Wat is de kans op 6  goed bij de echte lotto? Je kunt (een deel) van een kansboom tekenen.

(hint)
Je kunt (een deel) van een kansboom tekenen.

6

Een pistool heeft een draaibaar magazijn waarin plaats is voor zes kogels. Bij Russisch roulette wordt één van de zes plaatsen met een kogel geladen. De persoon die dit “spel” speelt geeft het magazijn een flinke draai, zet de loop tegen zijn slaap en haalt de trekker over.

Iemand neemt zich voor dit "spel" zes keer te spelen.

a

Je kunt dit nabootsen met een dobbelsteen. Leg uit hoe.

We willen de kans te weten komen om een serie van zes keer Russisch roulette te overleven.

b

Speel daarvoor twintig series van zes keer met een dobbelsteen. Noteer bij elke serie of je dood bent of niet. Hoe groot schat jij de kans om een serie van zes keer Russisch roulette te overleven?

c

Vergelijk jouw resultaat met dat van klasgenoten. Hoe groot schat jij nu de kans om een serie van zes keer Russisch roulette te overleven?

d

Teken een (deel van een) kansboom bij dit “spel” en bereken daarmee de gevraagde kans.

7

Stef en Leon gaan een avondje stappen. Wat later op de avond komen ze een café binnen waar aan de bar negen lege barkrukken op een rij staan. Ze zijn wat aangeschoten. Daardoor nemen ze, zonder verder op elkaar te letten, op een kruk plaats. Er is een kans dat Stef en Leon naast elkaar gaan zitten.
We gaan een kansboom tekenen waarmee we deze kans kunnen berekenen. We letten eerst op de kruk waar Stef op gaat zitten.

a

Welke twee soorten krukken moet je daarbij onderscheiden?

b

Maak de kansboom en bereken daarmee de kans dat Stef en Leon naast elkaar komen te zitten.

8

Als Anne van school naar huis fietst, komt zij twee verkeerslichten tegen. Het eerste verkeerslicht staat met kans 0,4 op groen en met kans 0,6 op rood (de tijd dat het licht op oranje staat verwaarlozen we). Als dit verkeerslicht op rood staat, kan Anne in de helft van de gevallen toch doorrijden, omdat er geen verkeer aankomt (en dat doet ze dan ook).
Het tweede verkeerslicht staat met kans 0,3 op groen en met kans 0,7 op rood. Als dit licht op rood staat, kan Anne in 40 % van de gevallen toch doorrijden.

a

Maak een bijbehorende kansboom.

b

Bereken de kans dat Anne bij beide verkeerslichten gaat stoppen.

c

Bereken de kans dat Anne bij beide verkeerslichten gaat doorrijden.

Bij de volgende opgaven staat er niet meer bij of je een kansboom of een stroomdiagram moet maken. Er wordt van jou verwacht dat je hier zelf over nadenkt en vervolgens doet wat jij het beste vindt.

9

Het CBR (Centraal Bureau Rijvaardigheidsbewijzen) publiceert jaarlijks de gegevens van het percentage mensen dat hun rijbewijs haalt. Omdat de kans dat je de eerste keer slaagt kleiner is dan de kans dat je de tweede keer slaagt, zijn de gegevens uitgesplitst naar het aantal pogingen.

a

Wat is de kans dat een willekeurige Nederlander in twee keer zijn rijbewijs haalt?

b

Wat is de kans dat iemand zijn rijbewijs na drie keer rijexamen doen nog steeds niet heeft?

In 2009 nam het CBR 407.773 rijexamens voor rijbewijs B af. Er werden 209.182 eerste examens en 198.591 herexamens afgenomen. Met herexamens worden tweede, derde en latere pogingen bedoeld.

c

Hoeveel personen slaagden in 2009 naar verwachting de eerste keer?

d

Bereken hoeveel personen naar verwachting bij hun tweede poging slaagden.

10

Jeanine speelt even goed tennis als haar moeder. Een partijtje tegen haar moeder wint ze met kans 0,5 . Ze speelt veel beter dan haar vader. Een partijtje tegen haar vader wint ze met kans 0,8 . Jeanine krijgt van haar ouders een bromfiets als ze in een serie van drie partijen, afwisselend tegen haar vader en haar moeder, twee maal achter elkaar wint.

a

Tegen wie zou jij beginnen als je Jeanine was, tegen haar vader of tegen haar moeder? En waarom?

b

Bepaal de kans dat Jeanine de bromfiets wint als ze tegen haar vader begint.

c

Bepaal ook de kans dat ze de brommer wint als ze tegen haar moeder begint.

11

Anne heeft in principe elke woensdagmiddag bijles van de heer Nijdam. Maar Anne is nogal ziekelijk: gemiddeld moet ze 30 % van de bijlessen afzeggen. De heer Nijdam is een drukbezet man; hij is gemiddeld 20 % van de woensdagen verhinderd.

a

Wat is de kans dat de heer Nijdam van drie opeenvolgende woensdagen er twee verhinderd is?

b

Bereken de kans dat de bijles op een willekeurige woensdag niet doorgaat.

12

In een volière in een dierenzaak zitten drie exemplaren van een zeldzame vogelsoort: 1 mannetje en 2 vrouwtjes. Het geslacht van zo'n vogeltje kun je op afstand niet zien. Daarvoor moet je het eerst uit de volière halen en van dichtbij bekijken. Willem wil de twee vrouwtjes kopen. De verkoper haalt steeds één vogeltje uit de volière. Blijkt dat het mannetje te zijn, dan stopt hij het weer terug in de volière; blijkt het een vrouwtje te zijn, dan geeft hij het aan Willem. Vervolgens pakt de verkoper opnieuw een vogeltje; net zo lang tot Willem zijn twee vrouwtjes heeft.
Elke keer dat de verkoper een vogeltje uit de volière pakt, noemen we een trekking. Bij elke trekking hebben de vogeltjes die nog in de kooi zitten evenveel kans om gepakt te worden.

a

Wat is de kans dat bij de tweede trekking een vrouwtje wordt gepakt?

b

Bepaal de kans dat er twee trekkingen nodig zijn om de twee vrouwtjes te pakken.

c

Bepaal de kans dat er drie trekkingen nodig zijn om de twee vrouwtjes te pakken.

13

Een bommelding blijkt in 50 van de 100  gevallen loos alarm te zijn. Na de melding gaat de opsporingsdienst aan het werk en wanneer er werkelijk een bom aanwezig is, vindt men deze in 95 van de 100  gevallen.

a

Hoe groot is de kans dat er na een willekeurige bommelding geen bom wordt gevonden?

b

Als er geen bom gevonden wordt (dat is in 2100 van de 4000  gevallen), wat is dan de kans dat er toch een bom aanwezig is?

14

We bekijken twee experimenten. Het ene experiment heeft mogelijke uitkomsten 1 , 3 en 5 met kansen achtereenvolgens 1 3 , 1 2 en 1 6 en het andere heeft uitkomsten 2 en 4 met kansen achtereenvolgens 2 5 en 3 5 .

a

Maak een kansboom.

b

Wat is de kans dat het tweede experiment een lagere uitkomst geeft dan het eerste?