In de vorige paragrafen heb je kennis gemaakt met geordende en ongeordende grepen. In deze paragraaf maken we een model bij deze grepen: het vaasmodel. Dit model kan je helpen te herkennen of je te maken hebt met een ongeordende greep of een geordende greep (al dan niet met herhaling). Tevens helpt het model je een juiste boom of rooster bij het probleem te vinden.

Voorbeeld:

In een vaas zitten zeven briefjes met daarop de nummers $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ en $7$ . Je kunt nu op de volgende vier manieren drie briefjes uit de vaas trekken.

Trekken met terugleggen, waarbij je let op de volgorde waarin de briefjes getrokken worden. Je hebt dan te maken met een geordende greep met herhaling.
Om het aantal grepen te bepalen kun je een wegendiagram tekenen. Elke (driewegs)route van links naar rechts correspondeert met een geordende greep met herhaling. De aangegeven route hoort bij de geordende greep $3 - 7 - 3$ .
Het aantal grepen is $7^{3} = 343$ .

Trekken zonder terugleggen, waarbij je let op de volgorde. Je hebt dan te maken met een permutatie (een geordende greep zonder herhaling). Om het aantal permutaties te bepalen kun je een boom tekenen. Elk eindpunt van de boom correspondeert met een permutatie. Het aangegeven eindpunt hoort bij de permutatie $3 - 6 - 1$ .
Het aantal is dan $7 \times 6 \times 5 = 210$ .

Trekken zonder terugleggen, waarbij je niet let op de volgorde. Je hebt dan te maken met een combinatie (een ongeordende greep zonder herhaling).
Om het aantal combinaties te berekenen kun je een rooster tekenen. Elke kortste route van linksonder naar rechtsboven correspondeert met een combinatie. De route hiernaast hoort bij de combinatie $3$ - $5$ - $7$ .
Het aantal is $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) = 35$ .

Als je de vorige paragraaf (Herhalingscombinaties) hebt overgeslagen, sla dan ook het volgende stukje theorie en de opgaven die als facultatief zijn gemarkeerd over.

Trekken met terugleggen, waarbij je niet let op de volgorde. Je hebt dan te maken met een herhalingscombinatie (een ongeordende greep met herhaling).
Om het aantal grepen te bepalen kun je een rooster tekenen. Elke kortste route in het rooster van linksonder naar rechtsboven correspondeert met een ongeordende greep met herhaling. De aangegeven route hoort bij de greep $3$ - $3$ - $7$ .
Het aantal is $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix}) = 84$ .

Marco heeft een treintje waar plaats is voor vier poppetjes. De poppetjes zitten netjes achter elkaar. Marco heeft poppetjes in vijf kleuren: blauw, geel, oranje, paars en rood. Van elke kleur heeft hij er meer dan genoeg.

Op hoeveel manieren kan Marco zijn treintje vullen met vier poppetjes?

Op hoeveel manieren kan Marco zijn treintje “vullen” als er ook plaatsen leeg mogen blijven (helemaal leeg is ook een “vulling”)?

Op hoeveel manieren kan Marco zijn treintje vullen met vier poppetjes als hij alleen blauwe en rode poppetjes gebruikt (alleen rode of alleen blauwe poppen mag ook)?

Op hoeveel manieren kan Marco zijn treintje vullen met vier poppetjes als hij wil dat alle poppetjes verschillend van kleur zijn?

Estera speelt mee met Marco. Ze heeft een kiepwagon. Zij vult haar kiepwagon door er vier poppetjes in te stoppen.
Geef bij elk van de volgende onderdelen weer het bijbehorende vaasmodel.

Op hoeveel manieren kan Estera haar kiepwagon vullen?

Bij hoeveel van die manieren zitten er geen paarse poppetjes in de wagon?

Hoeveel vullingen van de wagon zijn er waarbij er precies twee gele poppetjes aanwezig zijn?

Hoeveel vullingen zijn er mogelijk waarbij alle poppetjes verschillend van kleur zijn?

We bekijken rijtjes met nullen en enen van lengte $8$ . Bijvoorbeeld $11010011$ .

Hoeveel van die rijtjes zijn er (alleen nullen of alleen enen mag ook)? Welk vaasmodel hoort hierbij?

Hoeveel van die rijtjes zijn er met precies één een? Schrijf al die rijtjes op.

Heb je enig idee hoeveel rijtjes er zijn met precies twee enen?

Het valt niet mee om alle rijtjes op te schrijven die precies twee enen bevatten: het zijn er 28. We kunnen hier wel een vaasmodel bij maken. In de vaas zitten de getallen $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ en $8$ (deze getallen staan voor de acht plaatsen in de rij). Uit de vaas trek je, zonder terugleggen en zonder op de volgorde te letten, twee getallen. Deze twee getallen geven de plaatsen aan waar de twee enen komen. Trek je bijvoorbeeld $3$ en $7$ , dan hoort daar het rijtje $00100010$ bij.

Welk rijtje hoort bij de trekking $1$ en $8$ ? En welke trekking hoort bij het rijtje $00110000$ ?

Hoeveel verschillende trekkingen zijn er mogelijk? Hoeveel rijtjes van lengte $8$ met precies twee enen zijn er?

Je zou uit de vaas ook zes nummers kunnen trekken: die geven dan de plaats van de zes nullen aan.

Hoeveel van die trekkingen zijn er mogelijk? Klopt dat met je antwoord op c?

Hoeveel rijtjes van lengte $8$ zijn er met precies drie enen? En met vijf enen?

Hoeveel rijtjes van lengte $10$ zijn er met drie enen en zeven nullen? Welk vaasmodel hoort hierbij?

We maken nu rijtjes van lengte $8$ bestaande uit nullen, enen en tweeën.

Hoeveel van die rijtjes zijn er in totaal mogelijk?

Hoeveel van die rijtjes bevatten geen nullen?

We gaan berekenen hoeveel rijtjes er zijn met twee nullen, vijf enen en één twee.
In de vaas zitten weer de plaatsen $1$ tot en met $8$ . Eerst trekken we uit de vaas twee getallen die de plaatsen voor de twee nullen aangeven. Vervolgens trekken we uit de vaas - waar dan nog zes plaatsen in zitten - vijf getallen die de plaatsen voor de vijf enen aangeven. Het getal dat overblijft geeft de plaats voor de twee aan.

Stel dat je eerst de nummers $3$ en $6$ trekt en vervolgens de nummers $1$ , $2$ , $5$ , $7$ en $8$ .

Welk rijtje krijg je dan?

Op hoeveel manieren kun je de twee plaatsen voor de nullen trekken? Op hoeveel manieren kun je vervolgens de vijf plaatsen voor de enen trekken? Hoeveel rijtjes zijn er dus in totaal met twee nullen, vijf enen en één twee?

Je kunt ook eerst de plaats voor de twee trekken en daarna de twee plaatsen voor de nullen. Op hoeveel rijtjes kom je dan in totaal uit?

Bereken op nog een derde manier het aantal rijtjes met twee nullen, vijf enen en één twee.

Bereken het aantal rijtjes van lengte $10$ met één nul, twee enen, drie tweeën en vier drieën.

Een vast telefoonnummer in Nederland bestaat uit een 3- of 4-cijferig netnummer en daarna een abonneenummer. De totale lengte is altijd 10 cijfers.
We bekijken in deze opgave abonneenummers van lengte 6.

Hoeveel abonneenummers kun je maken met de cijfers
$1$ , $3$ , $5$ , $7$ , $8$ en $9$ ?

Hoeveel abonneenummers kun je maken met de cijfers
$1$ , $1$ , $3$ , $5$ , $7$ en $8$ ?

Hoeveel abonneenummers kun je maken met de cijfers
$1$ , $1$ , $1$ , $3$ , $5$ , en $7$ ?

Hoeveel abonneenummers kun je maken met de cijfers
$1$ , $1$ , $3$ , $3$ , $5$ en $7$ ?

Kijk nog eens terug naar opgave 22.

Vind je dezelfde antwoorden?

Ad verft voor Pasen $10$ eieren: $2$ blauw, $3$ geel en $5$ rood.
Hij legt de eieren mooi op een rij.

Laat zien dat hij $\frac{10!}{5! \cdot 3! \cdot 2!}$ rijtjes kan maken.

Er zijn $(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix})$ rijtjes van lengte $10$ met twee $0$ ’en, drie $1$ ’en, vier $2$ 'en en één $3$ .

Opmerking:

Als je eerst de drie $1$ 'en aanwijst, dan de vier $2$ 'en en dan de twee $0$ 'en, vind je voor dit aantal: $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$ .

Verder geldt:
$(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{10!}{4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!}$ .

In een bak zitten de letters $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ en $g$ .

Hoeveel verschillende geordende grepen van $3$ kun je nemen uit de bak?

Hoeveel verschillende ongeordende grepen van $3$ kun je nemen uit de bak?

Hoeveel geordende grepen zijn er waar alleen de letters $a$ , $b$ en $c$ in voorkomen? Schrijf ze allemaal op.

Bij de ongeordende greep $a$ , $b$ , $c$ kun je zes geordende grepen maken.
Algemener: bij elke ongeordende greep van $3$ horen zes geordende grepen van $3$ . Er zijn dus zes keer zoveel geordende grepen van $3$ uit $7$ als ongeordende grepen van $3$ uit $7$ .

Ga na of dit in overeenstemming is met je antwoorden bij a en b.

Op je GR kun je niet rechtstreeks het aantal geordende grepen van $60$ uit $100$ berekenen. Typ maar eens in: $100$ nPr $60$ ... .

Bereken op je GR hoeveel verschillende ongeordende grepen er zijn van $60$ uit $100$ .

Hoeveel geordende grepen van $60$ uit $100$ horen er bij één ongeordende greep van $60$ uit $100$ ?

Ga na dat er ongeveer $1,144 \cdot 10^{110}$ geordende grepen zijn van $60$ uit $100$ .

In een vaas zitten de getallen $1$ , $2$ en $3$ .

Hoeveel geordende grepen van $4$ met herhaling kun je nemen uit deze vaas?

Hoeveel ongeordende grepen van $4$ met herhaling kun je nemen uit de vaas?

Bij de ongeordende greep $1$ , $1$ , $1$ , $2$ horen vier geordende grepen: $1112$ , $1121$ , $1211$ en $2111$ .

Hoeveel geordende grepen horen er bij de ongeordende greep $1$ , $1$ , $2$ , $3$ ?

Schrijf alle ongeordende grepen op en schrijf erachter hoeveel geordende grepen bij elk van de ongeordende grepen horen. Klopt het totaal met het antwoord van a?