2.3 Rekenregels voor machten >

Hoofdstukken > Verbanden

In deze paragraaf herhalen we de rekenregels voor machten. Deze hebben we in hoofdstuk 11 Machten van de onderbouw gezien.

Groei

In de periode 1900-1927 werd de Nederlandse bevolking $1 \frac{1}{2}$ keer zo groot.
In de periode 1927-1991 werd de bevolking $2$ keer zo groot.

Hoeveel keer zo groot werd de bevolking in de periode 1900-1991?

In 1991 had Nederland ongeveer $15$ miljoen inwoners.

Hoeveel inwoners had Nederland ongeveer in 1900?

Groeiprincipe
Als een hoeveelheid eerst $a$ keer zo groot wordt en vervolgens nog eens $b$ keer zo groot, wordt de hoeveelheid in totaal $a \cdot b$ keer zo groot.

Je hebt vier grootouders; dat noemen we de ouders-van-twee-generaties-terug.

Hoeveel voorouders heb jij van-zes-generaties-terug?

Als je een generatie terug gaat, wordt het aantal voorouders twee keer zo groot. Zo zou je door kunnen rekenen tot het begin van onze jaartelling.

Hoeveel voorouders van jou zouden er volgens deze manier van rekenen geleefd hebben, toen Christus geboren werd? Schat dat aantal.

Waarschijnlijk kwam je berekening uit op een waanzinnig groot aantal voorouders. Dat kan natuurlijk niet.
Kun je uitleggen hoe het komt dat je berekening in het vorige onderdeel een veel te groot aantal geeft?

Bacteriën vermenigvuldigen zich door deling: ze breken middendoor. Elke helft groeit weer tot de oorspronkelijke grootte, en breekt dan weer in tweeën. Uit één enkele bacterie kan op deze manier in korte tijd een enorm aantal bacteriën ontstaan. Daarvoor is wel nodig, dat er voldoende vocht en voedsel aanwezig is en dat de temperatuur gunstig is (voor de meeste soorten $25 ° C$ ).

We bekijken een kolonie bacteriën. We veronderstellen dat het groei- en delingsproces één uur duurt en dat er om $12.00$ uur $1$ mg bacteriën is.
Het aantal bacteriën na $t$ uur is $B (t)$ milligram.

Neem de tabel over en vul hem in.

$t$	0	1	2	3	4
$B (t)$	$1$	$2$

Teken de vijf punten van de grafiek van de functie $B$ die je in het vorige onderdeel berekend hebt.
Zet $t$ horizontaal uit en $B (t)$ verticaal.

Omdat de groei van het aantal bacteriën geleidelijk verloopt, krijg je een goed beeld van het aantal bacteriën op elk moment door de getekende punten met een vloeiende lijn te verbinden.

Geef een formule voor $B (t)$ als $t$ een positief geheel getal is.

$2^{3}$ is het aantal mg bacteriën $3$ uur na $12.00$ uur.
Onder $2^{2 \frac{1}{2}}$ zullen we verstaan het aantal mg bacteriën $2 \frac{1}{2}$ uur na $12.00$ uur.

Lees uit de grafiek af hoe groot $2^{2 \frac{1}{2}}$ ongeveer is.

De groei van het aantal bacteriën is niet lineair. Dat zie je ook aan de formule $B (t) = 2^{t}$ .
Omdat de invoer-variabele $t$ in de exponent voorkomt, spreken we van exponentiële groei.

Rekenregels voor machten

$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ en $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2$ .
Schrijf de antwoorden op de volgende vragen als macht van $2$ , dus als $2^{...}$ .

Hoe groot is $2^{5} \cdot 2^{3}$ ?

Hoe groot is $2^{5} : 2^{3}$ ?

Hoe groot is ${(2^{5})}^{3}$ ?

Op de GR kun je gemakkelijk de exponentiële rij 1, 2, 4, 8, 16, ... maken.
Kijk in de gebruiksaanwijzing of vraag je docent hoe dat moet.

Het aantal bacteriën wordt elke $2$ uur $2^{2}$ keer zo groot, elke $3$ uur $2^{3}$ keer zo groot en elke $5$ uur $2^{5}$ keer zo groot,

Wat is het verband tussen deze drie groeifactoren?

Het aantal bacteriën wordt elke $p$ uur $2^{p}$ keer zo groot, elke $q$ uur $2^{q}$ keer zo groot en elke $p + q$ uur wordt het $2^{p + q}$ keer zo groot.

Wat is het verband tussen deze drie groeifactoren?

Wat is het verband tussen $2^{p}$ , $2^{q}$ en $2^{p - q}$ ?

Het aantal bacteriën wordt elke $3$ uur $2^{3}$ keer zo groot. In $12$ uur (dat is $4$ periodes van $3$ uur) wordt het $2^{12}$ keer zo groot.

Wat is het verband tussen deze twee groeifactoren?

Het aantal bacteriën wordt elke $p$ uur $2^{p}$ keer zo groot. In $p \cdot q$ uur (dat is $q$ periodes van $p$ uur) wordt het $2^{p \cdot q}$ keer zo groot.

Wat is het verband tussen deze twee groeifactoren?

Schrijf als macht van $2$ .

$2^{7} \cdot 2^{5}$	$2^{7} : 2^{5}$	${(2^{7})}^{5}$
$2 \cdot 2^{7}$	$2^{7} : 2$	$1$

$2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ en $5^{4} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Hoe groot is $2^{4} \cdot 5^{4}$ ?

Wat is het verband tussen $a^{p}$ , $b^{p}$ en ${(a \cdot b)}^{p}$ ?

Rekenregels voor machten

$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$
$a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$
${(a^{p})}^{q} = a^{p \cdot q}$
${(a \cdot b)}^{p} = a^{p} \cdot b^{p}$

Deze regels gelden voor alle positieve getallen $a$ , $b$ , $p$ en $q$ , met $p$ en $q$ geheel.
Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.

Opmerking:

Uit bovenstaande regels volgt ook dat $a^{0} = 1$ voor alle positieve getallen $a$ .

Rekenregels toepassen

Voorbeeld:

$\frac{x^{4} \cdot x^{3}}{x^{2} \cdot x} = \frac{x^{7}}{x^{3}} = x^{4}$
$\frac{{(2 x)}^{5} \cdot x^{3}}{2 x^{2} \cdot 2 x} = \frac{2^{5} \cdot x^{5} \cdot x^{3}}{4 x^{3}} = \frac{32 \cdot x^{8}}{4 x^{3}} = 8 x^{5}$

Vereenvoudig met behulp van de rekenregels voor machten:

$\frac{x^{5} \cdot x^{3}}{x^{2} \cdot x^{4}}$

$\frac{{(y^{5})}^{3}}{{(y^{2})}^{4}}$

$\frac{{(a^{2})}^{5} \cdot a^{3}}{a^{13}}$

$\frac{{(p q)}^{5}}{p^{2} q^{3}}$

$\frac{x^{3} \cdot 64 x^{2}}{{(2 x)}^{5}}$

$\frac{{(3 y^{2})}^{4}}{81 y^{3}}$

$\frac{{({(p^{2})}^{3})}^{4}}{p^{2} \cdot p^{3} \cdot p^{4}}$

$\frac{{(a^{2} b)}^{3}}{a^{5} b}$

Voorbeeld:

$8 \cdot 2^{k} = 2^{3} \cdot 2^{k} = 2^{3 + k}$

Schrijf zo ook als één macht van $2$ ; $k$ en $m$ zijn positieve gehele getallen.

$32 \cdot 2^{k}$

$2 \cdot 2^{k}$

$2^{k} \cdot 2^{k}$

$8^{k}$

$16^{k} \cdot 32^{k}$

$2^{k} \cdot 4^{m}$

$\frac{32}{2^{k}}$

$\frac{2^{k}}{2}$

$\frac{2^{k + 1}}{2^{k - 1}}$

$\frac{8^{k}}{8}$

$\frac{32^{k}}{16^{k}}$

$\frac{4^{m}}{2^{k}}$

Onderzoek welke van de volgende formules juist zijn voor elk positief geheel getal $n$ .

$3 \cdot 9^{n} = 27^{n}$	$2^{n} + 2^{n} = 2^{2 n}$
$3 \cdot 9^{n} = 3^{2 n + 1}$	$2^{n} + 2^{n} = 2^{n + 1}$
$\frac{4^{n}}{8} = {(\frac{1}{2})}^{n}$	$3^{n} + 3^{n} + 3^{n} = 3^{n + 1}$

Van de onjuiste formules kun je juiste formules maken door ze een klein beetje te veranderen.

Doe dat.