In een vorig hoofdstuk hebben we aan de hand van bijzondere rechthoekige driehoeken (half vierkant en halve gelijkzijdige driehoek) de volgende tabel gemaakt.

hoek in $°$	$30 °$	$45 °$	$60 °$
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$
cos	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$

Neem de tabel hieronder over en vul de hoeken in radialen in.

hoek in rad
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$
cos	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$

Door de symmetrie en periodiciteit van sinus en cosinus te gebruiken, kun je ook van alle andere hoeken (in radialen) die een veelvoud zijn van $\frac{1}{6} π$ en $\frac{1}{4} π$ de exacte waarde berekenen.

Neem de tabel hieronder over en vul op de open plekken exacte waarden in. Gebruik geen rekenmachine. Schets eventueel eerst een grafiek of maak gebruik van de eenheidscirkel.

hoek in rad	$0$	$\frac{1}{2} π$	$\frac{2}{3} π$	$\frac{3}{4} π$	$\frac{5}{6} π$	$π$	$1 \frac{1}{6} π$	$1 \frac{3}{4} π$	$1 \frac{5}{6} π$
sin
cos

Controleer enkele antwoorden met de GR.

Van een hoek $t$ tussen $0$ en $2 π$ is gegeven: $\cos (t) = ‐ \frac{1}{2} \sqrt{2}$ .

Bereken $t$ exact (dus zonder GR).

Van een hoek $t$ tussen $0$ en $2 π$ is gegeven: $\sin (t) = ‐ \frac{1}{2} \sqrt{3}$ .

Bereken $t$ exact.

Van een waarde van $t$ (in radialen) tussen $2π$ en $3π$ is gegeven:
$\sin (t) = \frac{1}{2}$ .

Bereken de exacte waarde van $t$ .

Bereken exact alle waarden van $t$ waarvoor geldt:
$\sin (t) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ . Gebruik de variabele $k$ voor een willekeurig geheel getal.

In sommige gevallen kunnen vergelijkingen met sin en cos dus ook exact opgelost worden: in gevallen waarbij veelvouden van $\frac{1}{6} π$ en $\frac{1}{4} π$ bij het oplossen een rol spelen.

Los de volgende vergelijkingen exact op.
Geef telkens eerst alle oplossingen, met de variabele $k$ voor een willekeurig geheel getal.
Geef daarna alle oplossingen tussen $0$ en $2 π$ .

$2 \sin (x) = \sqrt{3}$

$\sin (2 x) = ‐ \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$4 \cos (2 x) = 2 \sqrt{2}$

$1 - 2 \sin (3 x + \frac{1}{3} π) = ‐ 1$

$2 \sqrt{2} - 3 \sin (π x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$

$\sin (3 x - \frac{1}{3} π) = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

${(\cos (x))}^{2} = \frac{1}{4}$

Op het domein $[0, π]$ is de functie $f$ gegeven door
$f (x) = 2 - 4 \sin (2 x)$ .
De grafiek van $f$ snijdt de $x$ -as in de punten $A$ en $B$ . Zie de figuur.

Bereken exact de $x$ -coördinaten van de punten $A$ en $B$ .