Op de kermis staat een reuzenrad. Als het goed op gang is, draait het regelmatig
één keer per minuut rond (linksom).
We volgen gondel (zie figuur). De hoogte van de gondel boven de grond varieert van
tot meter. Op een zeker ogenblik is gondel meter hoog; dat is .
Hij gaat dan omhoog. Zijn hoogte seconden later noemen we
.
We nemen .
Teken de cirkelvormige baan die de gondel maakt op schaal .
Voor welke geldt: ?
Wat is de gemiddelde hoogte van de gondel?
Op welke tijdstippen wordt die bereikt?
Maak een schets van de grafiek van .
Wat is de periode?
Het is mogelijk heel precies te berekenen hoe hoog gondel is op een gegeven tijdstip. Hiervoor heb je wat
goniometrie
nodig, d.w.z. berekeningen met sinus, cosinus en/of tangens.
Hiernaast staat een rechthoekige driehoek; is de plaats van de gondel op tijdstip
,
is het middelpunt van het rad.
Hoe lang is de schuine zijde? Bereken hoek . Teken de driehoek in jouw tekening van vraag a.
Bereken exact . Geef ook de waarde afgerond op decimalen.
Bereken exact .
De grafiek van is een sinusoïde. De gemiddelde hoogte van de golf noemen we de evenwichtswaarde, het verschil tussen de maximale en gemiddelde hoogte noemen we de amplitude.
Geef de evenwichtswaarde en de amplitude van .
Er zijn allerlei periodieke bewegingen. Eén ervan is een bijzonder regelmatige: de standaard cirkelbeweging. Dat is de "moeder" van alle periodieke bewegingen.
Een kogeltje draait in een cirkelvormige baan, als volgt:
de straal van de baan is cm;
het middelpunt is ;
het kogeltje draait in positieve richting (de 'tegenklokrichting', ofwel linksom);
de snelheid is cm/s: het kogeltje legt elke seconde een afstand van cm af langs de cirkel;
op tijdstip is het kogeltje in .
Deze beweging is de standaard cirkelbeweging. De bijbehorende baan is de eenheidscirkel.
Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging. De straal van de cirkel is (cm). Op tijdstip is het op plaats .
Hoelang doet het kogeltje over één omwenteling (exact)?
Geef op het werkblad de plaats aan van het kogeltje op de tijstippen , , en .
Geef op het werkblad zo nauwkeurig mogelijk de plaats aan van het kogeltje op de tijstippen , en .
Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.
In de linker figuur is de eenheidscirkel verdeeld in acht even lange stukken.
Welke tijdstippen (tussen en ) horen bij de verdeelpunten?
In de rechter figuur is de eenheidscirkel verdeeld in twaalf even lange stukken.
Welke tijdstippen (tussen en ) horen bij de verdeelpunten?
We gaan de plaats van het kogeltje op tijdstip
heel precies aangeven.
Het kogeltje doet over één rondje seconden.
, dus in seconden is het kogeltje keer helemaal rond geweest
en dan nog
deel van de cirkel.
Daarbij hoort een hoek van .
Teken die hoek bij het middelpunt en je hebt de plaats op tijdstip
gevonden.
Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.
Geef op het werkblad zo nauwkeurig mogelijk aan waar het kogeltje is op tijdstip .
Doe hetzelfde voor de tijdstippen en .
Om de plaats van het kogeltje op een gegeven tijdstip te vinden, moet je eigenlijk
een meetlat langs de eenheidscirkel buigen.
Dus moeten we net zo iets hebben als een gradenboog, maar dan met cm in plaats van graden.
Of algemener: met de straal van de cirkel uitgezet langs de omtrek.
Zie de animatie
lijn oprollen
.
Meestal spreekt men van radialen in plaats van "stralen".
Een Engelsman geeft zijn lengte in "inch", een Nederlander in "centimeter".
Een hoek kan ook in verschillende maten gemeten worden. De hoekmaat die we meestal
gebruikt hebben, is de “graad”.
Je gebruikt je geodriehoek om een hoek in graden te meten.
De grootte van een hoek kun je ook zo geven: Leg het hoekpunt in het midden van een cirkel en meet de lengte van de boog die de benen van de hoek van de eenheidscirkel afsnijden.
Hoeveel stralen deze booglengte lang is, is de hoek gemeten in radialen, afgekort rad.
Een gestrekte hoek is:
gemeten in graden: ;
gemeten in radialen: rad.
komt overeen met radialen.
Hoeveel radialen (exact) is een hoek van ?
En van ,
en
?
Hoeveel graden - afgerond op één decimaal - is een hoek van rad?
En van rad, rad
en rad?
Schrijf precies op hoe je een hoek van graden omrekent naar radialen.
Schrijf precies op hoe je een hoek van radialen omrekent naar graden.
De hoeken die een veelvoud zijn van
en zijn speciale gevallen:
die hoeken zijn in radialen 'mooi' te schrijven als een eenvoudige breuk keer .
Bijvoorbeeld: rad.
En rad.
Neem de tabel over en vul de open plaatsen in.
graden |
|||||||||
rad |
Met de applet
graden_radialen
kun je het verband tussen graden en radialen nog eens goed bekijken.
Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.
Op tijdstip is het op een zekere plaats op de eenheidscirkel.
Bereken de coördinaten van die plaats. Rond af op decimalen.
Dezelfde vraag voor tijdstip .
En voor tijdstip .
We gaan twee nieuwe functies definiëren, met oude namen: en .
Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.
|
de tweede coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip ; |
|
de eerste coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip . |
In opgave 26 heb je dus
en
berekend. Dat heb je gedaan door van radialen eerst het overeenkomstige aantal graden te berekenen
en toen daarvan de "gewone"
en te nemen.
Het kan ook in één keer met de knoppen
en op je GR: je hoeft dan alleen maar je machine in de stand
"RADIAN" te zetten.
Zet je GR in de stand RADIAN en bereken en .
Zet je GR in de stand DEGREE en bereken en .
Wat betekenen en als je werkt in de stand RADIAN? Bedenk dat RADIAN = radius = straal.
Wat betekenen en als je werkt in de stand DEGREE? Bedenk dat DEGREE = graad.
Als we in het vervolg over
spreken, bedoelen we de hoogte van een kogeltje dat de standaard cirkelbeweging
maakt op tijdstip
.
Je vindt de waarde van dus met je rekenmachientje in de stand RADIAN.
Alleen als we met hoeken in figuren werken, rekenen we nog met graden en moet
de eenheid er ook bij staan:
.
Bereken en in twee decimalen.
Teken de eenheidscirkel; kies als straal (de eenheid) cm.
Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.
Geef op de eenheidscirkel nauwkeurig de plaats aan waar het kogeltje is op
tijdstip
.
Dezelfde opdracht voor tijdstip .
Vul de tabel in met behulp van de eenheidscirkel, zonder gebruik te maken van je rekenmachine:
Controleer enkele antwoorden met je rekenmachine.
Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.
Hieronder is op de horizontale as de tijd uitgezet.
Verticaal zetten we in het eerste plaatje de waarden van , dus de hoogte (ofwel -coördinaat) van het kogeltje op tijdstip .
In het tweede plaatje de waarden van , ofwel de wijdte (-coördinaat) van het kogeltje op tijdstip .
Teken op het werkblad op deze wijze de grafieken van en .
Controleer je grafiek met de applet
sin en cos in de eenheidscirkel
.
Bekijk nog eens de grafieken van de sinus en de cosinus die je zojuist getekend
hebt.
De vorm van de grafieken is identiek: je krijgt de ene uit de andere door
een verschuiving.
Hoeveel en in welke richting moet je de sinusgrafiek verschuiven om de cosinusgrafiek te krijgen?
Er zijn twee getallen tussen
en
zo dat .
Welke waarden zijn dat?
Aanpak:
In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven.
Je GR levert je maar één van deze twee waarden (in de stand RADIAN):
.
De andere waarde vind je door de symmetrie in de figuur te gebruiken:
.
Bereken de getallen tussen en waarvoor de sinus de volgende waarden heeft. Rond je antwoorden af op decimalen. Teken eventueel een plaatje in de eenheidscirkel.
In het voorbeeld hierboven heb je de getallen gevonden tussen en waarvoor geldt: .
Weet je dan ook de getallen gevonden tussen en waarvoor ?
Bereken de getallen tussen
en
waarvoor
.
Er zijn twee getallen tussen
en
zo dat .
Welke waarden zijn dat?
Aanpak:
In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven.
Je GR levert je weer één van deze twee waarden (in de stand RADIAN):
.
De andere waarde vind je door de symmetrie in de figuur te gebruiken:
.
Bereken de getallen tussen en waarvoor de cosinus de volgende waarden heeft. Rond je antwoorden af op decimalen. Teken eventueel een plaatje in de eenheidscirkel.
In het voorbeeld heb je de getallen gevonden tussen en waarvoor geldt: .
Weet je dan ook de getallen gevonden tussen en waarvoor ?
Bereken de getallen tussen
en
waarvoor
.
Oplossen vergelijkingen:
Dan geeft de GR (met ):
Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing:
of
.
Dan geeft de GR (met ):
Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing:
of
.
Hierin kan elke gehele waarde aannemen (positief én negatief).
Bereken alle getallen tussen en , afgerond op decimalen, waarvoor geldt: