Als je het goed gedaan hebt, heb je in de laatste vraag van de vorige opgave
gevonden. Het enige punt dat
in dit geval met de cirkel gemeen heeft, is het punt .
We zeggen dat de lijn
de cirkel raakt in .
De lijn staat loodrecht op .
We zeggen: een cirkel raakt een lijn
als en
precies één punt, het raakpunt, gemeen hebben.
Als middelpunt
heeft en het raakpunt is, dan staat lijn loodrecht op .
We bewijzen dit in het volgende.
Gegeven een cirkel met middelpunt
en straal en een lijn .
Neem aan: heeft één punt gemeen met , zeg
.
Dan liggen de andere punten van meer dan
van af. Dus
is het punt van dat het dichtst bij ligt.
Dus lijn staat loodrecht op .
Omgekeerd.
Als een gemeenschappelijk punt van en
is en staat loodrecht op ,
dan geldt voor elk ander punt van
dat
(stelling van Pythagoras in driehoek ),
dus dan is het enige punt dat en
gemeen hebben.
Gegeven is de cirkel met vergelijking met
daarop het punt .
We geven een vergelijking van de raaklijn in aan de cirkel.
Het middelpunt van de cirkel is . Lijn
heeft richtingscoëfficiënt . Deze staat loodrecht op de raaklijn, dus de raaklijn
heeft richtingscoëfficiënt .
Een vergelijking van de raaklijn is dus: .
De raaklijn gaat door
, dus een vergelijking van de raaklijn is:
.
Gegeven zijn de punten
en .
is de cirkel met middelpunt die door gaat.
Geef een vergelijking van .
Geef een vergelijking van de lijn die in raakt.
Gegeven is de lijn met vergelijking met daarop
het punt .
De middelpunten van de cirkels die in raken, liggen op een lijn.
Geef een vergelijking van die lijn.
Geef een vergelijking van de cirkel waarop de punten liggen die afstand tot hebben.
Een cirkel met straal raakt in .
Bereken de coördinaten van het middelpunt van (twee mogelijkheden).
Een cirkel raakt in . Het middelpunt van de cirkel ligt op de lijn met vergelijking .
Bereken de straal van die cirkel.
is de lijn met vergelijking met daarop het punt . Op de -as ligt een punt . Een cirkel met middelpunt raakt in .
Bereken exact de coördinaten van en de straal van de cirkel.
Een bal met straal zit in een kegel. In de figuur zie je een doorsnede van de situatie. is het middelpunt van de cirkel die raakt aan de lijn (in ) en aan de lijn .
Bereken exact hoe ver het middelpunt van de oorsprong afligt.
Gegeven zijn de cirkel met middelpunt en straal en de cirkel met middelpunt en straal .
Een lijn raakt de kleine cirkel in en de grote cirkel in .
Deze lijn snijdt de -as in
.
De lengte van lijnstuk noemen we
.
Stel een vergelijking voor op en bereken exact, gebruik gelijkvormigheid.
Hoek noemen we .
Bereken en exact.
Geef een exacte vergelijking van lijn .
Hieronder staat de cirkel met middelpunt en straal .
De cirkel raakt de -as.
Welk punt is het raakpunt ?
Er zijn twee raaklijnen door . Een daarvan is de
-as.
De andere raaklijn is ook getekend. Die raakt de cirkel in .
vind je door te spiegelen in de juiste lijn.
Welke lijn is dat?
Bereken de coördinaten van exact.
Gegeven is de cirkel met vergelijking
en de lijn met vergelijking
.
Het stelsel
heeft één oplossing.
Laat dat zien en bepaal de oplossing exact.
Hoe volgt uit het vorige onderdeel dat de cirkel
raakt?
Wat zijn de coördinaten van het raakpunt?
In opgave 50 hebben we de raaklijnen aan de cirkel met vergelijking bepaald die evenwijdig zijn
met de lijn .
Nu doen we dat nog eens op een andere manier.
De raaklijnen hebben vergelijking voor zekere waarden van
.
Het stelsel moet één oplossing hebben.
Vul voor in, in de vergelijking
, dit geeft:
.
Deze vergelijking (in ) moet één oplossing hebben, dus de discriminant van de vergelijking is
.
Dus:
.
Dus of
.
De raaklijnen hebben dus vergelijking en
.
Je kunt de werkwijze vergelijken met die in hoofdstuk 3, paragraaf 6. Daar heb je met behulp van een discriminant raaklijnen aan een parabool bepaald.
Gegeven zijn de lijnen met vergelijking voor alle mogelijke waarden van en de cirkel met vergelijking .
De lijnen gaan alle door het punt .
Laat dat zien.
Gegeven het stelsel
.
Voor twee waarden van heeft dit stelsel één oplossing.
Bereken deze waarden exact.
Uit het vorige onderdeel volgt dat de lijnen en de cirkel raken.
Bepaal de coördinaten van de raakpunten exact.
In de figuur hieronder staat de cirkel met middelpunt en straal , zie opgave 56. Er zijn twee raaklijnen door punt aan de cirkel. Eén van die lijnen is de -as. De andere raaklijn hebben we in opgave 56 bepaald. We doen dat in deze opgave nog eens met behulp van een discriminant.
Een vergelijking van de cirkel is .
Geef een vergelijking van de lijn door met richtingscoëfficiënt .
Bereken de exacte waarden van waarvoor het stelsel één oplossing heeft.
Een bal wordt in een paraboolvormige vaas gegooid. Hieronder rechts zie je een doorsnede van de situatie. Er is een assenstelsel aangebracht. De parabool heeft vergelijking . Het middelpunt van de bal is .
Bereken de straal van de cirkel (bal) exact. (De cirkel raakt dus de parabool.)