Snijpunten van een lijn met een cirkel
1

In het plaatje staat de cirkel met middelpunt M ( ‐2,1 ) en straal  2 . De cirkel snijdt de x -as in A en B .
Het midden van A B noemen we N .

a

Bereken A N exact.

Uit het voorgaande volgt dat A = ( ‐2 3 ,0 ) .

b

Ga dat na.
Wat zijn de coördinaten van B ?

Je kunt de coördinaten van A en B ook vinden door een stelsel vergelijkingen op te lossen. Als volgt.

c

Geef een vergelijking van de cirkel.

d

Los op: { ( x + 2 ) 2 + ( y 1 ) 2 = 4 y = 0 .

Voorbeeld:

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn k met vergelijking x + 2 y = 6 en de cirkel met middelpunt M ( ‐1,2 ) en straal 3 .


Oplossing

Een vergelijking van de cirkel is: ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 9 .
De snijpunten zijn de oplossingen van het stelsel:
{ ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 9 x + 2 y = 6 .
Dit stelsel lossen we als volgt op.

{ ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 9 x + 2 y = 6

x uitdrukken in y

{ ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 9 x = 6 2 y

Voor x = 6 2 y in de andere vergelijking invullen.

{ ( 6 2 y + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 9 x = 6 2 y

De kwadratische vergelijking in y oplossen.

{ 4 y 2 28 y + 49 + y 2 4 y + 4 = 9 x = 6 2 y

Vereenvoudigen.

{ 5 y 2 32 y + 44 = 0 x = 6 2 y

Bijvoorbeeld de a b c -formule toepassen.

{ y = 32 ± 1024 880 10 x = 6 2 y

De gevonden waarden van y invullen in x + 2 y = 6 ,
geeft de oplossingen.

De snijpunten zijn: ( ‐2 4 5 ,4 2 5 ) en ( 2,2 ) .

2

Gegeven de lijn met vergelijking x + 3 y = 15 en de cirkel met middelpunt O en straal 5 .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten.

3

Gegeven de lijn met vergelijking 2 x + 3 y = 7 en de cirkel met middelpunt M ( ‐1,1 ) en straal 2 .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten.

4

c is de cirkel met middelpunt O en straal 2 .

a

Geef een vergelijking van c .

b

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van c met de lijn y = x .

5

We bekijken snijpunten van de cirkel met middelpunt O en straal 2 met de lijnen k a : x + y = a voor alle mogelijke waarden van a .

Voor a = 0 krijg je de lijn k 0 met vergelijking x + y = 0 door O .
Voor elke andere waarde van a krijg je een lijn evenwijdig met  k 0 .

a

Waarom?

b

In de applet schuivende lijn kun je a variëren: bekijk die applet.

Je ziet dat je geen, één of twee snijpunten van de lijn met de cirkel krijgt, afhankelijk van a .

c

Bereken de coördinaten van de snijpunten van k 1 : x + y = 1 met de cirkel exact en ook van k 4 : x + y = 4 met de cirkel.

Uit het vorige onderdeel kun je concluderen dat er een waarde van a tussen 1 en 4 is waarvoor je precies één gemeenschappelijk punt van k a met de cirkel hebt.

d

Heb je enig idee welke waarde van a dit exact is?