René Descartes
1596-1650

In dit hoofdstuk werken we meestal met een vlak waarin een assenstelsel is aangebracht. De assen (die loodrecht op elkaar staan) heten $x$ -as en $y$ -as.
Het snijpunt van die assen is $O$ , de oorsprong. In het vlak kunnen we elk punt aangeven met een paar coördinaten. Zo kun je meetkundige problemen vaak algebraïsch oplossen. Deze aanpak is van Descartes. We spreken daarom wel van het Cartesisch vlak. In teksten zie je ook wel de term $O x y$ -vlak.

Herhaling

We bekijken de lijnen $k$ en $m$ .
$k$ heeft vergelijking $y = ‐ 2 x + 5$ en $m$ heeft vergelijking $y = 3 x - 3$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van $k$ en $m$ met de coördinaatassen.

Teken de lijnen in een assenstelsel, controleer je antwoord met de GR of in GeoGebra.

Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van $k$ en $m$ .

De lijn met vergelijking $y = a x + b$ heeft richtingscoëfficient $a$ en snijdt de $y$ -as in $(0, b)$ .

Gegeven is het punt $P (1,2)$ .
Verder is $k_{a}$ de lijn met vergelijking $y = a x - a + 2$ voor elk getal $a$ .
Als je voor $a = 2$ neemt krijg je $k_{2}$ , de lijn met vergelijking $y = 2 x - 2 + 2$ , dus met vergelijking $y = 2 x$ .
Als je voor $a = ‐3$ neemt krijg je $k_{‐ 3}$ , de lijn met vergelijking $y = ‐ 3 x + 3 + 2$ , dus met vergelijking $y = ‐3 x + 5$ .

Ga na dat $P$ op $k_{2}$ en $k_{‐3}$ ligt.

Wat is de richtingscoëfficiënt van $k_{2}$ , $k_{‐3}$ en $k_{a}$ ?

Voor welke waarde van $a$ gaat $k_{a}$ door het punt $(10,10)$ ?

Laat zien dat $P$ voor elke waarde van $a$ op $k_{a}$ ligt.

Voor welke $a$ gaat $k_{a}$ door het punt $(1,10)$ ?

Opmerking:

Door $a$ te variëren, krijg je alle mogelijke lijnen door $P$ op de verticale ( $=$ evenwijdig aan de $y$ -as) na.
Verticale lijnen hebben geen richtingscoëfficiënt.

In opgave 3e wordt gevraagd voor welke $a$ de lijn door $P$ verticaal loopt. Die waarde van $a$ bestaat dus niet.

De lijnen

a x + b y = c

Neem in de formule $a x + b y = c$ voor $a = 2$ , $b = 5$ en $c = ‐10$ . Je krijgt dan de vergelijking $2 x + 5 y = ‐10$ .
Zoals je eerder gezien hebt, vormen de punten $(x, y)$ met $2 x + 5 y = ‐10$ een rechte lijn, zeg $k$ .

Bereken exact de snijpunten van $k$ met de coördinaatassen en teken $k$ in een assenstelsel.

Wat is de richtingscoëfficiënt van $k$ ?

Je kunt de richtingscoëfficiënt van $k$ vinden zonder $k$ te tekenen.
Dat kun je doen door $2 x + 5 y = ‐10$ te schrijven in de vorm $y = \dots \cdot x + \dots$ .

Doe dat, schrijf je tussenstappen op.

Je kunt een vergelijking voor $k$ op meer dan één manier in de vorm $a x + b y = c$ schrijven, bijvoorbeeld: $x + 2 \frac{1}{2} y = ‐5$ .

Hoe zie je dat $x + 2 \frac{1}{2} y = ‐5$ ook een vergelijking van $k$ is?

Wat zijn de getallen $a$ en $c$ als $a x + 2 y = c$ een vergelijking van $k$ is?

We bekijken lijnen met vergelijking $a x + b y = c$ .

Welk soort lijnen krijg je als $a = 0$ ?

Welk soort lijnen krijg je als $b = 0$ ?

Welk soort lijnen krijg je als $c = 0$ ?

Het midden van een lijnstuk

Lynn heeft voor haar schoolexamens wiskunde $6,3$ en $7,4$ gehaald. De twee cijfers tellen even zwaar.

Wat is het (onafgeronde) gemiddelde van die twee?

Ga na dat het gemiddelde even ver afligt van de twee cijfers $6,3$ en $7,4$ die Lynn gehaald heeft.

Schrijf $\frac{1}{2} (a + b) - a$ en $b - \frac{1}{2} (a + b)$ zonder haakjes.

Aan de uitkomsten zie je dat $\frac{1}{2} (a + b)$ midden tussen $a$ en $b$ ligt.

Bereken de coördinaten van het midden van $A (14, 50)$ en $B (62, 12)$ .

Het gemiddelde van $6,3$ en $7,4$ ligt midden tussen $6,3$ en $7,4$ op de getallenlijn.

$\frac{1}{2} (a + b)$ is het gemiddelde van de getallen $a$ en $b$ . Het ligt op de getallenlijn midden tussen $a$ en $b$ .

Het midden van het lijnstuk met eindpunten $(a, b)$ en $(p, q)$ is $(\frac{1}{2} (a + p), \frac{1}{2} (b + q))$ .

Gegeven zijn de punten $A (‐8,‐10)$ , $B (12,20)$ , $C (30,26)$ en $D (10,‐4)$ .

Bereken de coördinaten van het midden van $A C$ en ook van het midden van $B D$ .

Het midden van $A C$ is het midden van $B D$ .

Wat voor speciale vierhoek is $A B C D$ dan?

$A B C D$ is een gelijkbenig trapezium, met $A (‐ 2 \frac{1}{2},0)$ , $B (3 \frac{1}{2},0)$ , $C (2,4)$ en $D (‐1,4)$ . Het snijpunt van de diagonalen is $S$ .

Bereken de eerste coördinaat van $S$ exact.
Je hoeft hiervoor geen vergelijkingen van lijnen op te stellen.

(hint)

Het midden van

A B

S

hebben dezelfde eerste coördinaat.

Bereken de tweede coördinaat van $S$ exact met behulp van gelijkvormigheid.

(hint)

De driehoeken

A S B

C S D

zijn gelijkvormig.

Bereken exact de tweede coördinaat van het snijpunt van de lijnen $A D$ en $B C$ met gelijkvormigheid.

Bereken exact de oppervlakte van het trapezium $A B C D$ .

(hint)

Verdeel het trapezium in twee driehoeken.

Gegeven zijn de punten $O$ , $A (3, ‐ 5)$ , $B (7, ‐ 1)$ en $C$ .
De vierhoek $O A B C$ is een parallellogram.

Bereken de coördinaten van $C$ exact.

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de diagonalen van het parallellogram.

Loodlijnen

Hiernaast is een lijn $k$ getekend en een aantal lijnen die loodrecht op $k$ staan. Die hebben alle dezelfde richtingscoëfficiënt. We willen graag weten hoe je de richtingscoëfficiënt van zo'n loodlijn vindt als je die van $k$ weet.

In het rooster zijn drie lijnen $k$ , $m$ en $n$ getekend.

Bepaal de richtingscoëfficiënten van $k$ , $m$ en $n$ met behulp van de gekleurde driehoeken. (De hoekpunten van die driehoeken zijn roosterpunten.)

De lijnen $k_{r}$ , $m_{r}$ en $n_{r}$ krijg je door door $k$ , $m$ en $n$ over $90 °$ met de klok mee over de witte roosterpunten te draaien.

Neem het plaatje over op roosterpapier en teken de beelden van de drie driehoeken bij de draaiingen en bepaal hiermee de richtingscoëfficiënt van $k_{r}$ , $m_{r}$ en $n_{r}$ .

Bereken het product van de richtingscoëfficiënten van $k$ en $k_{r}$ . Ook van $m$ en $m_{r}$ . En ook van $n$ en $n_{r}$ .

Gegeven twee lijnen $k$ en $m$ niet evenwijdig aan de assen.
Dan
$k$ en $m$ staan loodrecht op elkaar $\Leftrightarrow$ het product van hun richtingscoëfficiënten is gelijk aan $‐1$ .

Voorbeeld:

Gegeven is de lijn $k$ met vergelijking $y = ‐ 1 \frac{2}{3} x + 1 \frac{1}{3}$ met daarop het punt $P (‐1,3)$ .
We zoeken een vergelijking van de lijn door $P$ loodrecht op $k$ .
Dat gaat zo.
De lijn door $P$ loodrecht op $k$ noemen we $m$ en de richtingscoëfficiënt van $m$ noemen we $a$ .
Dan $a \cdot ‐1 \frac{2}{3} = ‐1$ , dus $a = \frac{3}{5}$ .
Een vergelijking van $m$ is: $y = \frac{3}{5} x + b$ .
$(‐1,3)$ ligt op $m$ , dus: $3 = \frac{3}{5} \cdot ‐ 1 + b$ , dus $b = 3 \frac{3}{5}$ .
Een vergelijking van $m$ is: $y = \frac{3}{5} x + 3 \frac{3}{5}$ .

Voorbeeld
$k$ is de lijn door de punten $(2,5)$ en $(10,1)$ .
Het punt $P (4,2)$ wordt gespiegeld in $k$ .
We berekenen de coördinaten van het spiegelbeeld exact.

figuur 1

figuur 2

De lijn door $P$ loodrecht op $k$ noemen we $m$ . Het snijpunt van $k$ en $m$ noemen we $S$ . Het spiegelbeeld van $P$ noemen we $Q$ .
Dan liggen $P$ en $Q$ even ver van $S$ .
We berekenen eerst de coördinaten van $S$ , dat is het snijpunt van $k$ en de lijn door $P$ loodrecht op $k$ . De richtingscoëfficiënt van $k$ is $‐ \frac{1}{2}$ , dus die van $m$ is $2$ . Een vergelijking van $m$ is
$y = 2 x + b$ .
$m$ gaat door $P$ dus $2 = 2 \cdot 4 + b$ , dus $b = ‐ 6$ .
Een vergelijking van $m$ is: $y = 2 x - 6$ . Een vergelijking van $k$ is: $y = ‐ \frac{1}{2} x + 6$ .
$m$ met $k$ snijden:
$‐ \frac{1}{2} x + 6 = 2 x - 6 \Leftrightarrow 2 \frac{1}{2} x = 12 \Leftrightarrow x = 4 \frac{4}{5}$ , dus $S = (4 \frac{4}{5},3 \frac{3}{5})$ .
Van $P$ naar $S$ moet je $\frac{4}{5}$ naar rechts en $1 \frac{3}{5}$ naar boven, dus van $S$ naar $Q$ ook, dus: $Q = (4 \frac{4}{5} + \frac{4}{5},3 \frac{3}{5} + 1 \frac{3}{5}) = (5 \frac{3}{5},5 \frac{1}{5})$ .

$O A B C$ is een vlieger met $O (0,0)$ , $A (6,‐8)$ en $B (18,6)$ . De lijn $O B$ is symmetrieas van de vlieger. Het snijpunt van de diagonalen is $S$ .

Bereken exact de coördinaten van $S$ en van $C$ .

Bereken exact de lengte van de diagonalen van de vlieger.

Bereken exact de oppervlakte van de vlieger.

$O A B C$ is een rechthoek met $O (0,0)$ , $C (6,3)$ en $B$ op de $x$ -as.
$F$ is het punt $(6,0)$ .
De driehoeken $F B C$ en $F C O$ zijn gelijkvormig.

Waarom? Geef de vergrotingsfactor.

Wat zijn dus de coördinaten van $B$ ?

Je kunt de coördinaten van $B$ ook anders berekenen.

Geef een vergelijking van lijn $B C$ en bereken daarmee de coördinaten van $B$ .

Geef de coördinaten van $A$ .

Gegeven twee punten $A$ en $B$ .
De punten die even ver van $A$ als van $B$ liggen, vormen de middelloodlijn van lijnstuk $A B$ . Deze lijn gaat door het midden van lijnstuk $A B$ en staat loodrecht op lijn $A B$ .

Gegeven zijn de punten $A (‐8, ‐10)$ en $B (12, 20)$ .

Geef een vergelijking van de middelloodlijn van $A B$ .

(hint)

Lijn $A B$ heeft richtingscoëfficiënt ..., dus de middelloodlijn heeft richtingscoëfficiënt… Het midden van lijnstuk $A B$ is een punt van de middelloodlijn.

Lijn $k$ gaat door de punten $(2,6)$ en $(‐3,‐4)$ . Punt $A$ met $x_{A} = ‐5$ ligt op lijn $k$ .
Verder is gegeven dat lijn $l$ door punt $A$ gaat en dat deze lijn loodrecht op $k$ staat.

Stel via algebraïsche weg een vergelijking van lijn $l$ op.

$A B C$ is een gelijkbenige driehoek met basis $A B$ .
De coördinaten van $A$ en $B$ zijn $(1,0)$ en $(9,2)$ en het punt $C$ ligt op de $y$ -as.

Bereken de coördinaten van $C$ .

(hint)

C

ligt op de middelloodlijn van

A B

Gegeven zijn de punten $O (0,0)$ , $A (20,0)$ en $B (12,16)$ .
$C$ is het midden van lijnstuk $A B$ .
Driehoek $O A B$ is gelijkbenig.

Toon dat aan.

Dan is lijn $O C$ middelloodlijn van lijnstuk $A B$ .

Waarom?

$M$ is het snijpunt van de middelloodlijn van $O A$ en de middelloodlijn van $A B$ .

Bereken exact de coördinaten van $M$ .

Bereken exact de afstand van $M$ tot de hoekpunten van driehoek $O A B$ . Vereenvoudig de wortels.

Opmerking:

Als je de cirkel met middelpunt $M$ tekent die door $O$ gaat, gaat hij dus ook door $A$ en $B$ .
We noemen deze cirkel de omgeschreven cirkel van driehoek $O A B$ .
In deel 1 h/v hoofdstuk 10 is dit aan de orde geweest.

De omgeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die door de hoekpunten van de driehoek gaat.
Het middelpunt van deze cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden.

Gegeven zijn de punten $A (10,0)$ en $B (8,2)$ .

Bereken de coördinaten van het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $O A B$ exact.
Dit ligt buiten de driehoek.