1

Teken op de GR de grafiek van de functie $f (x) = 0,15 x^{5} - x^{3}$ .

a

Bereken algebraïsch de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt met $x = 1$ en ook in het punt met $x = 2$ .

b

Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in elk van deze punten.

c

Bereken algebraïsch de coördinaten van de punten van de grafiek waarin de raaklijn horizontaal is.

d

Hoe zie je aan de formule van $f$ dat de grafiek symmetrisch is in het punt $(0,0)$ ?

2

$f (x) = x {(x - 2)}^{2}$ en $g (x) = \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 5$ .

a

Bereken algebraïsch voor welke $x$ geldt: $f (x) = 0$ .

b

Bereken algebraïsch voor welke $x$ geldt: $f' (x) = 0$ .

c

Bereken algebraïsch voor welke $x$ geldt: $g (x) = 0$ .

d

Bereken algebraïsch voor welke $x$ geldt: $g' (x) = 0$ .

3

Hiernaast staat de grafiek van een functie $f$ , waarvan de formule onbekend is. Anneke kent de formule wel en heeft daarmee de gemiddelde helling uitgerekend op het interval $[1; 1,01]$ .
Ook heeft Anneke de gemiddelde helling uitgerekend op het interval $[0,99; 1]$ .
Tenslotte heeft Anneke de gemiddelde helling uitgerekend op het interval $[0,99; 1,01]$ .

a

Welke van de drie gemiddelde hellingen is het kleinst en welke het grootst? Waarom?

b

Welke van de drie gemiddelde hellingen is de beste benadering van de helling van de grafiek van $f$ in het punt $(1,2)$ zelf? Waarom?

4

Van een functie $f$ weten we een formule voor de afgeleide functie:
$f' (x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ . Bovendien weten we dat de grafiek door het punt $(0,3)$ gaat.

a

Stel een formule op van de functie $f$ .

b

Laat zien dat $f' (x) = (x^{2} + 1) (x + 1)$ .

c

Geef en zo groot mogelijk $x$ -interval waarop de functie $f$ dalend is.

5

De snelste hardloper in de dierenwereld is de cheetah. Hij kan erg snel een grote snelheid bereiken; hij kan echter deze grote snelheid maar kort volhouden.

We rekenen de tijd in seconden. Op tijdstip $0$ staat de cheetah nog stil. Dan begint hij met zijn sprint. Na $45$ seconden is die afgelopen. De afgelegde weg noemen we $s$ (in meters).
Er gelden de volgende formules:

$• s = t^{2}$	voor $0 \leq t \leq 15$ ,
$• s = 30 t - 225$	voor $15 \leq t \leq 30$ ,
$• s = - t^{2} + 90 t - 1125$	voor $30 \leq t \leq 45$ .

a

Hoe groot is de afstand die de cheetah aflegt?

b

Bereken de gemiddelde snelheid gedurende de eerste $15$ seconden.

c

Bereken de gemiddelde snelheid gedurende de totale $45$ seconden.

d

Bereken op welke tijdstippen de snelheid van de cheetah $20$ m/s was.

e

Wat is de versnelling in elk van de drie periodes van $15$ seconden? (De versnelling is de afgelede van de snelheid.)

f

Schets (zonder te rekenen) de vorm van de tijd-afstand-grafiek voor $0 \leq t \leq 45$ .

6

Teken op de GR de grafiek van $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

a

Bereken algebraïsch de nulpunten van $f$ .

b

Bereken de hoek die de grafiek van $f$ met de $x$ -as maakt in de oorsprong.

c

Bereken exact de $x$ -coördinaten van de punten van de grafiek van $f$ waar de richtingtingscoëfficiënt $0$ is.

d

Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat $1$ .

e

Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van de buigraaklijn. Laat de breuken in je antwoord staan.

7

Teken op de GR de grafiek van $y = \frac{2}{3} x^{3}$ .

a

Bereken exact de coördinaten van de punten op de grafiek waar de helling $\frac{1}{2}$ is.

Er zijn twee raaklijnen aan de grafiek met helling $2$ . Eén van die raaklijnen heeft vergelijking $y = 2 x - 1 \frac{1}{3}$ .

b

Bereken langs algebraïsche weg een vergelijking van de andere raaklijn met helling $2$ .

c

Controleer je antwoord met de GR.

8

Hiernaast staat de grafiek van een functie $f$ met daarop het punt $P (1,2)$ . De punten $Q$ en $R$ liggen ook op de grafiek, dicht bij $P$ : $Q (1,01; 2,016)$ en $R (0,99; 1,982)$ .

Hoe groot schat jij op grond hiervan dat de helling van de grafiek in het punt $P$ is?

9

Hiernaast staat de grafiek van een functie $f$ . Gegeven is dat $f (2) = 1$ en $f' (2) = \frac{1}{2}$ .

a

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt met $x = 2$ .

De functie $g$ is drie maal de functie $f$ plus $2$ .
Dus: $g = 3 \cdot f + 2$ .

b

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $g$ in het punt met $x = 2$ .

(hint)

Bereken eerst

g (2) = ...

en

g' (2) = ...

.

10

Teken op de GR de grafiek van $f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ .

a

Los algebraïsch op: $f (x) \geq 0$ .

b

Bereken op welk interval $f$ dalend is.

c

Stel algebraïsch een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt met $x = 1$ .

Een horizontale lijn $y = p$ snijdt de grafiek van $f$ in drie verschillende punten.

d

Bereken voor welke getallen $p$ dat het geval is.

11

Een ballon wordt losgelaten op tijdstip $0$ . Hieronder staat de tijd-hoogte-grafiek van de ballon. De hoogte $h$ boven de grond wordt gemeten in meters, de tijd $t$ in seconden.

a

Wanneer stijgt de ballon het snelst, in het begin of later?

b

Bepaal met behulp van de grafiek de gemiddelde stijgsnelheid (in m/s) van de ballon op het tijdsinterval $[2,8]$ .

c

Bepaal met behulp van de grafiek de stijgsnelheid (in m/s) van de ballon op het tijdstip $2$ .

d

Schets de grafiek van de stijgsnelheid als functie van de tijd.

12

$f (x) = 3 x^{2} - 15 x + 1$ .

a

Schrijf de formule van deze parabool met behulp van kwadraatafsplitsen in de topvorm.

b

Hoe volgt uit het antwoord van vraag a wat de minimale waarde van $f (x)$ is?

c

Controleer je antwoord op vraag b met differentiëren.

13

Hieronder is van een functie $f$ aangegeven waar $f (x)$ positief, nul en negatief is en ook waar $f' (x)$ positief, nul en negatief is.

Schets de grafiek van een mogelijke functie $f$ .

14

Hieronder staat de tijd-afstand-grafiek van een auto.

Je kunt goed zien dat de weg waarover de auto reed een vrij scherpe bocht maakte.

a

Waaraan zie je dat?

Een bijbehorende formule is: $A = t^{3} - 6 t^{2} + 16 t$ , waarbij $A$ de afstand is in hectometers (gerekend vanaf een zeker punt langs de weg) en $t$ de tijd is in minuten.

b

Geef een formule voor de snelheid van de auto (in hectometers per minuut).

c

Bereken algebraïsch op welke tijdstippen $t$ de snelheid $60$ km/uur is. Rond je antwoorden af op 2 decimalen.
Let op de eenheid!

15

Teken op de GR de grafiek van de functie $f (x) = x^{4} - 7 x^{2} + 12$ .

a

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van $f$ met de $x$ -as.

(hint)

Denk aan de substitutie

p = x^{2}

.

b

Bereken exact het minimum van $f (x)$ .

Verder is gegeven de functie $g (x) = f (x) + p$ .

c

Bepaal $p$ zodat de grafiek van $g$ de $x$ -as raakt.

Op de grafiek van $f$ liggen punten $A$ en $B$ op gelijke hoogte. De $x$ -coördinaat van $A$ noemen we $a$ . We maken een rechthoek met punten $C$ en $D$ op de $x$ -as zoals in de figuur.

d

Leg uit dat de oppervlakte van rechthoek $A B C D$ gelijk is aan $2 a^{5} - 14 a^{3} + 24 a$ .

e

Bereken met differentiëren voor welke waarde van $a$ de oppervlakte van rechthoek $A B C D$ maximaal is. Rond je antwoord af op 3 decimalen.

16

Hieronder is een deel van de parabool $y = x^{2}$ getekend en een deel van de lijn $y = 2$ .
De punten $P (2,4)$ en $Q (1,1)$ liggen op de parabool.
Het lijnstuk $P Q$ snijdt de lijn $y = 2$ in het punt $S$ .
$T$ is het snijpunt van de parabool en de lijn $y = 2$ .

a

Bereken de lengte van $S T$ in twee decimalen.

Bij de volgende vragen laten we $Q$ tussen $O$ en $T$ over de parabool bewegen, terwijl $P$ het punt $(2,4)$ blijft. Lijnstuk $P Q$ verandert steeds van richting en punt $S$ verandert van plaats. De $x$ -coördinaat van $Q$ noemen we $a$ .

b

Toon aan dat de richtingscoëfficiënt van $P Q$ gelijk is aan $2 + a$ .

c

Toon aan dat de $x$ -coördinaat van $S$ is:
$2 - \frac{2}{2 + a}$ .

d

Bereken voor welke waarden van $a$ de lengte van lijnstuk $S T$ kleiner is dan $0,01$ . Geef de grenzen in twee decimalen nauwkeurig.

17

Een piramidevormige trechter is aan de bovenkant open. De bovenkant is $4$ bij $4$ cm en de diepte van de trechter is $4$ dm. We gieten water in de trechter.

De waterhoogte noemen we $h$ , de bijbehorende oppervlakte van de waterspiegel noemen we $O (h)$ en de waterinhoud $I (h)$ .

a

Druk $O (h)$ uit in $h$ .

Gegeven is dat $I' (h) = O (h)$ .

b

Welke formule voor $I (h)$ volgt hieruit?

c

Hoeveel dm³ water kan de trechter bevatten?