3.5 Nog meer vergelijkingen >

Hoofdstukken > Kwadratische verbanden

Kruislings vermenigvuldigen

Als je twee repen chocolade met drie man deelt, krijgt elk $\frac{2}{3}$ reep, dus $\frac{2}{3} \cdot 3 = 2$ .

Als je een breuk met de noemer vermenigvuldigt, krijg je de teller.

Dus:

$\frac{17}{‐ 3} \cdot ‐ 3 = 17$

$\frac{7}{x + 1} \cdot (x + 1) = 7$

Neem over en vul de uitkomst in.

$\frac{2 x + 1}{x} \cdot x = .....$ .

$\frac{3}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) = .....$

Los de volgende vier vergelijkingen algebraïsch op.

$\frac{2 x + 1}{x} = 3$

(hint)

Vermenigvuldig beide kanten met

x

$\frac{2 x + 3}{x + 1} = 4$

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2} = 2$

$\frac{x - 1}{x} = x + 3$

Voorbeeld:

We lossen de volgende vergelijking op:

$\frac{x + 1}{x}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$	MAAL $x$
$x + 1$	$=$	$\frac{x^{2}}{x + 2}$	MAAL $(x + 2)$
$(x + 1) (x + 2)$	$=$	$x^{2}$	haakjes weg
$x^{2} + 3 x + 2$	$=$	$x^{2}$	MIN $x^{2}$ en MIN 2
$3 x$	$=$	$‐ 2$	DELEN DOOR 3
$x$	$=$	$‐ \frac{2}{3}$

Om de noemers kwijt te raken, hebben we eerst met $x$ vermenigvuldigd en daarna met $x + 2$ . Het gaat sneller, als je in één keer zowel met $x$ als met $x + 2$ , dus met $x (x + 2)$ vermenigvuldigt:

$\frac{x + 1}{x}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$	MAAL $x (x + 2)$
$(x + 1) (x + 2)$	$=$	$x^{2}$

Dit noemen we kruislings vermenigvuldigen.

Als $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ dan $a d = b c$ .

Dit zie je in, door van de linker gelijkheid beide kanten met $b d$ te vermenigvuldigen.

Een andere manier om dit in te zien, zie je in de volgende opgave.

De rechthoek is met een horizontale lijn, een verticale lijn en de diagonaal verdeeld in 6 gebieden A t/m F.

Leg uit waarom driehoeken A en B gelijkvormig zijn.

Uit die gelijkvormigheid volgt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Leg uit waarom de oppervlaktes van rechthoeken E en F gelijk aan elkaar zijn.

(hint)

Kijk naar de oppervlaktes van alle zes (!) driehoeken in de figuur.

Druk de oppervlaktes van rechthoeken E en F uit in $a$ , $b$ , $c$ en $d$ .
Conclusie?

Het kruislings vermenigvuldigen kan je goed gebruiken bij het oplossen van vergelijkingen:

$\frac{x + 1}{x}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$	kruislings vermenigvuldigen
$(x + 1) (x + 2)$	$=$	$x^{2}$

Los de volgende vergelijkingen op.
Laat zonodig een $\sqrt{}$ -teken in je antwoord staan.

$\frac{4}{x + 1} = \frac{2}{x - 1}$

$\frac{x}{2 x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

$\frac{x + 1}{x} = \frac{4 x}{x + 1}$

$\frac{3}{2 x - 2} = \frac{1}{1 - x}$

Het is altijd verstandig om de oplossingen die je gevonden hebt te controleren door in te vullen. Dat is in sommige gevallen niet eenvoudig, zoals bij de vergelijking in opgave 43b.

Bij de vergelijking in opgave 43d heb je $x = 1$ als oplossing gevonden.

Waarom is $x = 1$ geen oplossing van deze vergelijking?

Noemers mogen niet $0$ zijn. (Delen door nul is 'flauwekul'.)
Door kruislings te vermenigvuldigen werk je noemers weg.
De vergelijking na kruislings vermenigvuldigen kan getallen als oplossing hebben waarvoor de oorspronkelijke vergelijking geen betekenis heeft. Je moet dus altijd controleren of je gevonden oplossingen goed zijn.

Ga bij gebroken vergelijkingen daarom na welke getallen een noemer $0$ maken. Voor dergelijke getallen heeft de vergelijking geen betekenis.

Bij de vergelijking uit opgave 43d is een noemer $0$ als $x = 1$ .

Welke getallen zijn dat bij de vergelijking uit opgave 43b?
En bij opgave 43c?

Welke waarden voor $x$ maken een noemer van de vergelijking $\frac{1}{x^{2} - x} = \frac{1}{x}$ gelijk aan $0$ ?

Los de vergelijking $\frac{1}{x^{2} - x} = \frac{1}{x}$ op.

In de driehoek is een lijn getekend evenwijdig aan de basis, dus de kleine driehoek is gelijkvormig met de hele driehoek.

Neem over en vul in: $\frac{x + 3}{x + 4} = \frac{......}{......}$

Los deze vergelijking langs algebraïsche weg op.

Hoe groot is $x$ ?

Vergelijkingen met andere machten

Voorbeeld:

Sommige vergelijkingen zien er niet direct uit als kwadratische vergelijkingen, maar kunnen met een extra stap met kwadratische vergelijkingen worden opgelost.
De volgende voorbeelden laten dit zien.

Voorbeeld 1: buiten haakjes halen

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x = 0$	$x$ buiten haakjes halen
$x (x^{2} + 2 x - 3) = 0$	$a \cdot b = 0$ $\to$ $a = 0$ of $b = 0$
$x = 0$ of $x^{2} + 2 x - 3 = 0$	tweede deel ontbinden
$x = 0$ of $(x + 3) (x - 1) = 0$
$x = 0$ of $x = ‐ 3$ of $x = 1$

Voorbeeld 2: substitutie (ofwel 'vervanging')

$x^{4} + 2 x^{2} - 3 = 0$	noem $p = x^{2}$
$p^{2} + 2 p - 3 = 0$	ontbinden
$(p + 3) (p - 1) = 0$
$p = ‐ 3$ of $p = 1$	terugzetten $p = x^{2}$
$x^{2} = ‐ 3$ of $x^{2} = 1$
(linker deel kan niet) $x = ‐ 1$ of $x = 1$

Los de volgende vergelijkingen op. Geef exacte antwoorden.
Controleer je gevonden antwoorden!

$x + 2 \sqrt{x} - 3 = 0$

(hint)

noem

p = \sqrt{x}

$x {(x + 1)}^{2} = 25 x$

$\sqrt{2 x + 20} = ‐ x$

$x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x} + 4 = 0$

${(x + 2)}^{3} = 8 x^{2} + 12 x + 8$

(hint)

{(x + 2)}^{3}

= (x + 2) (x + 2) (x + 2)

= (x + 2) (........)