Zuivere kwadraten

In de vorige paragraaf hebben we kwadratische vergelijkingen opgelost door ze eerst op nul te herleiden en daarna te ontbinden. Maar niet voor alle kwadratische vergelijkingen is dat de handigste methode. En ook kun je niet alle vergelijkingen op deze manier oplossen.

Los de vergelijking ${(x + 6)}^{2} = 16$ op door de vergelijking zonder haakjes te schrijven, op $0$ te herleiden en daarna te ontbinden.

Maar dit kon handiger: de vergelijking is van het type
${(...)}^{2} = 16$ .

Welke twee getallen kunnen er op de plaats van de stippen staan?

Dus moet gelden: $x + 6 = ...$ of $x + 6 = ...$ .

Vul ook nu de plaatsen met de stippen in en los de vergelijking verder op.

Los op dezelfde manier de volgende vergelijkingen op, dus zonder de vergelijking zonder haakjes te schrijven en op nul te herleiden.

${(x - 3)}^{2} = 25$	${(x + 5)}^{2} = 100$
${(x - 2)}^{2} = 0$	${(x - 1)}^{2} = 2 \frac{1}{4}$
${(x + 2)}^{2} = ‐ 9$	${(2 x - 3)}^{2} = \frac{1}{4}$

Ook de vergelijking ${(x + 3)}^{2} = 10$ kun je op dezelfde manier oplossen.
Er staat nu ${(...)}^{2} = 10$ , dus op de plaats van de stippen moet nu het getal $‐ \sqrt{10}$ of $\sqrt{10}$ staan.
Het gaat dan als volgt:

${(x + 3)}^{2}$	$=$	$10$
$x + 3 = ‐ \sqrt{10}$	of	$x + 3 = \sqrt{10}$
$x = ‐ 3 - \sqrt{10}$	of	$x = ‐ 3 + \sqrt{10}$
( $x \approx ‐ 6,16$	of	$x \approx 0,16$ )

Los de volgende vergelijkingen op. Geef exacte antwoorden.

${(x + 5)}^{2} = 7$	${(x - 5)}^{2} = 3$
${(x + 2)}^{2} - 2 = 0$	$10 - {(x - 1)}^{2} = 3$
$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} = 5$	${(4 - 2 x)}^{2} = 6$

Kwadraatafsplitsen (1)

In opgave 14 heb je de vergelijking ${(x + 5)}^{2} = 7$ opgelost. De oplossingen zijn $‐ 5 + \sqrt{7}$ en $‐ 5 - \sqrt{7}$ .
Als je de haakjes in de vergelijking wegwerkt en op 0 herleidt, vind je: $x^{2} + 10 x + 18 = 0$ .
Deze vergelijking kun je niet oplossen door ontbinden omdat er geen paar gehele getallen te vinden is waarvan het product $18$ en de som $10$ is. Haakjes wegwerken, werkt hier dus averechts.

Als je de vergelijking $x^{2} + 10 x + 18 = 0$ op wilt lossen, moet je proberen de vorm ${(x + 5)}^{2} = 7$ terug te vinden. Hoe je zoiets aanpakt, bekijken we in de komende opgaven.

De maten (in m) van een L-vormig gazon staan in de figuur.

Druk de oppervlakte van de figuur uit in $x$ .

Bereken voor welke $x$ de oppervlakte van het gazon $7$ m² is.

En ook voor welke $x$ de oppervlakte van het gazon $16$ m² is.

Er is ook een waarde voor $x$ zó, dat de oppervlakte van het gazon $10$ m² is. Die waarde van $x$ kun je niet vinden door de vergelijking $x^{2} + 6 x = 10$ op $0$ te herleiden en te ontbinden.

Reken na dat $‐ 3 + \sqrt{19}$ aan de vergelijking $x^{2} + 6 x = 10$ voldoet.

De vraag is: hoe vind je dat getal $‐ 3 + \sqrt{19}$ ?
Dat bekijken we in het volgende.

We vullen het L-vormige gazon aan tot een vierkant gazon.

Wat is de oppervlakte van het stuk dat erbij is gekomen?

Druk de zijden en daarna de oppervlakte van het grote vierkant in $x$ uit.

De oppervlakte van de L-vorm is het verschil in oppervlakte van twee vierkanten.

Neem over en vul in.
$x^{2} + 6 x = {(x + 3)}^{2} - ...$

De vergelijking $x^{2} + 6 x = 10$ lossen we nu als volgt op.

$x^{2} + 6 x = 10$	$x^{2} + 6 x$ vervangen door ${(x + 3)}^{2} - 9$
${(x + 3)}^{2} - 9 = 10$	PLUS 9
${(x + 3)}^{2} = 19$	Verder oplossen
$x = ‐ 3 + \sqrt{19}$ of $x = ‐ 3 - \sqrt{19}$

Los op soortgelijke wijze op: $x^{2} + 6 x = 11$ .

Bij $x^{2} + 10 x$ kunnen we een plaatje maken. De poten van de L zijn even lang.

Hoe lang zijn de poten (uitdrukken in $x$ )?

Wat is de oppervlakte van het kleine vierkant waarmee je de L-vorm aanvult tot het grote vierkant?

De L-vorm is het verschil van twee vierkanten: $x^{2} + 10 x = {(x + 5)}^{2} - 25$ .
We gebruiken dit bij het oplossen van de vergelijking $x^{2} + 10 x + 20 = 0$ .

$x^{2} + 10 x + 20 = 0$	$x^{2} + 10 x$ vervangen door ${(x + 5)}^{2} - 25$
${(x + 5)}^{2} - 25 + 20 = 0$	Vereenvoudigen
${(x + 5)}^{2} - 5 = 0$	PLUS 5
${(x + 5)}^{2} = 5$

Geef de oplossingen van de vergelijking $x^{2} + 10 x + 20 = 0$ .

Schrijf de vergelijking $x^{2} + 10 x - 12 = 0$ in de vorm ${(x + 5)}^{2} = .....$ .

Geef de oplossingen van de vergelijking $x^{2} + 10 x - 12 = 0$ .

We bekijken de vorm $x^{2} + 12 x$ . Denk hier een plaatje bij zoals getekend is.

Neem over en vul in: $x^{2} + 12 x = {(x + .....)}^{2} - .....$ .

Los op: $x^{2} + 12 x = 4$ .

Los op: $x^{2} + 12 x + 4 = 0$ .

We hebben steeds de oppervlakte van een L-vorm geschreven als het verschil in oppervlakte van twee vierkanten, bijvoorbeeld $x^{2} + 10 x = {(x + 5)}^{2} - 25$ .
We gebruiken dit bij het oplossen van vergelijkingen.

Voorbeeld:

Los op:

$x^{2} + 10 x + 12 = 0$	$x^{2} + 10 x$ vervangen door ${(x + 5)}^{2} - 25$
${(x + 5)}^{2} - 25 + 12 = 0$	Vereenvoudigen
${(x + 5)}^{2} - 13 = 0$	PLUS 13
${(x + 5)}^{2} = 13$
$x = ‐ 5 + \sqrt{13}$ of $x = ‐ 5 - \sqrt{13}$

$x^{2} + 10 x$ vervangen door ${(x + 5)}^{2} - 25$ , noemen we kwadraatafsplitsen.

Splits het kwadraat af. (De eerste is als voorbeeld voorgedaan.)

$x^{2} - 20 x = {(x - 10)}^{2} - 100$

$x^{2} - 7 x = {(x - 3 \frac{1}{2})}^{2} - ...$

$x^{2} - 8 x$

$x^{2} + 11 x$

$x^{2} - 21 x$

$x^{2} + x$

$x^{2} - x$

Vierkantsvergelijkingen oplossen

Voorbeeld:

Aan de hand van drie uitgewerkte voorbeelden kun je hieronder zien hoe je kwadraatafsplitsen kunt gebruiken om kwadratische vergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1
Los op:

$x^{2} + 3 x$	$=$	$7 x + 10$	op $0$ herleiden
$x^{2} - 4 x - 10$	$=$	$0$	kwadraatafsplitsen
${(x - 2)}^{2} - 4 - 10$	$=$	$0$	PLUS 14
${(x - 2)}^{2}$	$=$	$14$
$x = 2 + \sqrt{14}$	of	$x = 2 - \sqrt{14}$

Voorbeeld 2
Los op:

$2 x^{2} + 12 x$	$=$	$10 x - 20$	op $0$ herleiden
$2 x^{2} + 2 x + 20$	$=$	$0$	DELEN DOOR 2
$x^{2} + x + 10$	$=$	$0$	kwadraatafsplitsen
${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + 10$	$=$	$0$	MIN $‐ 9 \frac{3}{4}$
${(x + \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$‐ 9 \frac{3}{4}$

De vergelijking heeft geen oplossingen, want de uitkomst van een kwadraat kan nooit negatief zijn!

Voorbeeld 3
Los op:

${(x + 1)}^{2}$	$=$	$2 x^{2} - (x + 3)$	haakjes wegwerken
$x^{2} + 2 x + 1$	$=$	$2 x^{2} - x - 3$	op $0$ herleiden
$0$	$=$	$x^{2} - 3 x - 4$	kwadraatafsplitsen
${(x - 1 \frac{1}{2})}^{2} - 2 \frac{1}{4} - 4$	$=$	$0$	PLUS $6 \frac{1}{4}$
${(x - 1 \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$6 \frac{1}{4} = \frac{25}{4}$
$x - 1 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$	of	$x - 1 \frac{1}{2} = ‐ \frac{5}{2}$
$x = 4$	of	$x = ‐ 1$

Vanaf de derde regel had je ook zo verder kunnen gaan:

$x^{2} - 3 x - 4$	$=$	$0$	ontbinden
$(x - 4) (x + 1)$	$=$	$0$	verder oplossen
$x = 4$	of	$x = ‐ 1$

Los de volgende vergelijkingen op. Geef exacte antwoorden.

$‐ x^{2} + 3 x = 4 x - 5$

$2 x^{2} = 4 x + 6$

${(x + 1)}^{2} = ‐ (x + 2) + 7$

$x^{2} + 5 x + 3 = 0$

$3 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

$‐ 2 x^{2} - 4 x = 20$

${(2 x)}^{2} = 4 x - 1$

De abc-formule

Met kwadraatafsplitsen hebben we een werkwijze waarmee we elke kwadratische vergelijking op kunnen lossen.
We bekijken het oplossen van de vergelijking $2 x^{2} + 12 x + 6 = 0$ .
Een mogelijke uitwerking zie je hieronder.

Voorbeeld:

Los op:

$2 x^{2} + 12 x + 6$	$=$	$0$	DELEN DOOR 2
$x^{2} + 6 x + 3$	$=$	$0$	kwadraatafsplitsen
${(x + 3)}^{2} - 9 + 3$	$=$	$0$	PLUS $6$
${(x + 3)}^{2}$	$=$	$6$
$x + 3 = \sqrt{6}$	of	$x + 3 = ‐ \sqrt{6}$
$x = ‐ 3 + \sqrt{6}$	of	$x = ‐ 3 - \sqrt{6}$

We doen hetzelfde met de vergelijking $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$ .
Een mogelijke uitwerking zie je hieronder.

Voorbeeld:

Los op:

$3 x^{2} + 5 x - 2$	$=$	$0$	DELEN DOOR 3
$x^{2} + \frac{5}{3} x - \frac{2}{3}$	$=$	$0$	kwadraatafsplitsen
${(x + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} - \frac{2}{3}$	$=$	$0$	Breuken samennemen
${(x + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{49}{36}$	$=$	$0$	PLUS $\frac{49}{36}$
${(x + \frac{5}{6})}^{2}$	$=$	$\frac{49}{36}$
$x + \frac{5}{6} = ‐ \frac{7}{6}$	of	$x + \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$
$x = ‐ \frac{12}{6} = ‐ 2$	of	$x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Zoals je aan de uitgewerkte voorbeelden hierboven ziet is het best veel werk om zo'n vergelijking netjes op te lossen, zeker als er breuken aan te pas komen.
En het kan nóg lastiger, bijvoorbeeld bij de vergelijking
$3 x^{2} + 5 x - 1 = 0$ .

Wiskundigen hebben een formule gevonden die je onmiddellijk de oplossing(en) geeft van elke tweedegraads vergelijking. Dat is de zogenaamde abc-formule.
Van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ , met $a \neq 0$ , zijn de oplossingen:
$x = \frac{‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ of $x = \frac{‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Een bewijs van deze formule vind je verderop in deze paragraaf.

Welk getal stellen $a$ , $b$ en $c$ voor in het voorbeeld $2 x^{2} + 12 x + 6 = 0$ van hierboven?

Vul de getallen voor $a$ , $b$ en $c$ in de formules $x = \frac{‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ en $x = \frac{‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ in en laat zien dat er inderdaad voor $x$ de waarden $‐ 3 + \sqrt{6}$ en $‐ 3 - \sqrt{6}$ uit komen.

(hint)

\sqrt{96} = 4 \sqrt{6}

Dezelfde twee vragen voor het tweede voorbeeld $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$ van hierboven.

Dezelfde twee vragen voor de vergelijking $\frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 3 = 0$ .
Wat valt je op?

Als je deze abc-formule probeert te gebruiken bij de vergelijking $‐ 2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ geeft dat een probleem.
Wat is het probleem?

Los de vergelijking $3 x^{2} + 5 x - 1 = 0$ op twee manieren op: zowel met kwadraatafsplitsen als met de abc-formule. Geef exacte antwoorden.
Welke werkwijze vind je het handigst?

De abc-formule (wortelformule)
Algemeen:
$a x^{2} + b x + c = 0$ , met $a \neq 0$ , dan zijn de oplossingen:
$x = \frac{‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ of $x = \frac{‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Of de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van $D = b^{2} - 4 a c$ . We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.
Discriminare (Latijn) betekent: onderscheid maken. (Hier wordt onderscheid gemaakt tussen het aantal oplossingen.)

De vierkantsvergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ met $a \neq 0$ heeft

geen oplossingen als $D < 0$
één oplossing als $D = 0$ , namelijk: $x = ‐ \frac{b}{2 a}$
twee oplossingen als $D > 0$ namelijk:
$x = \frac{‐ b + \sqrt{D}}{2 a}$ of $x = \frac{‐ b - \sqrt{D}}{2 a}$

Een bewijs van de abc-formule

$a x^{2} + b x + c$	$=$	$0$	MAAL $4 a$
$4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c$	$=$	$0$	kwadraatafsplitsen
${(2 a x + b)}^{2} - b^{2} + 4 a c$	$=$	$0$	PLUS $b^{2}$ en MIN $4 a c$
${(2 a x + b)}^{2}$	$=$	$b^{2} - 4 a c$
$2 a x + b = \sqrt{b^{2} - 4 a c}$	of	$2 a x + b = ‐ \sqrt{b^{2} - 4 a c}$
$2 a x = ‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}$	of	$2 a x = ‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}$
$x = \frac{‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$	of	$x = \frac{‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Voorbeeld:

$7 x^{2} - 6 x + 1 = 0$
Deze vergelijking krijg je uit $a x^{2} + b x + c = 0$ door $a = 7$ , $b = ‐ 6$ en $c = 1$ in te vullen.
$D = {(‐ 6)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 36 - 28 = 8$ (dus de vergelijking heeft twee oplossingen)
$\sqrt{D} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$
$x = \frac{‐ (‐ 6) + 2 \sqrt{2}}{14}$ of $x = \frac{‐ (‐ 6) - 2 \sqrt{2}}{14}$
$x = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} \sqrt{2}$ of $x = \frac{3}{7} - \frac{1}{7} \sqrt{2}$

In de abc-formule komt $a$ in de noemer voor.
Dus $a$ mag niet 0 zijn in de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ .
Als $a = 0$ , pas je de abc-formule natuurlijk ook niet toe.

Waarom niet?

Los de volgende vierkantsvergelijkingen op met de abc-formule. Geef exacte antwoorden, dus laat het $\sqrt{}$ -teken eventueel staan. Vereenvoudig de wortels als dat kan.

$2 x^{2} - 3 x - 35 = 0$	$4 x = 1 + 4 x^{2}$
$2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$	${(x - 3)}^{2} = 5 - 3 x$
$7 x^{2} - 6 x + 2 = 0$	$5 x - 3 x^{2} = 0$
$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 4 \frac{1}{2} = 0$

Nulpunten

Janneke wil de parabool met vergelijking $y = x^{2} - 3 x$ tekenen. Daarvoor rekent ze eerst de nulpunten uit. De nulpunten van $y = x^{2} - 3 x$ zijn de oplossingen van de vergelijking $0 = x^{2} - 3 x$ .

Bereken de nulpunten van de parabool.

De nulpunten geven twee punten van de parabool met een bijzondere ligging.

Waar liggen deze twee punten?

Wat is de vergelijking van de symmetrieas van de parabool?
Gebruik daarvoor het antwoord uit vraag a.

De top van de parabool ligt op de symmetrieas.

Bereken de coördinaten van de top.

Bereken met behulp van de nulpunten de coördinaten van de top van de parabool met vergelijking $y = ‐ x^{2} - 3 x + 40$ .

Bereken met behulp van de nulpunten de coördinaten van de top van de parabool met vergelijking $y = x^{2} - 4 x + 2$ .

De nulpunten van een vergelijking zijn de oplossingen van de vergelijking $y = 0$ .

We bekijken de parabool met vergelijking $y = x^{2} - 2 x + 4$ .

Ga met een berekening na dat deze parabool geen nulpunten heeft.

We kunnen dus nu de nulpunten niet gebruiken om de symmetrieas en de top van de parabool te vinden. Dat moet dus op een andere manier.

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de parabool met de $y$ -as.

Er is nog een punt van de parabool waarvan de hoogte $4$ is.
De vergelijking die je op moet lossen om dat punt te vinden is: $x^{2} - 2 x + 4 = 4$ .

Los die vergelijking op.

Wat is de vergelijking van de symmetrieas?
En wat is de top?

Bereken de top van de parabool met vergelijking $y = ‐ x^{2} + 4 x - 5$

De $x$ -coördinaat van de top zit altijd midden tussen twee punten op de parabool op gelijke hoogte.
De top kan je dus vinden door de nulpunten te zoeken (punten op hoogte 0), of door twee punten op een andere gelijke hoogte te zoeken.

We bekijken voor elke waarde van $p$ (met $p \neq 0$ ) de parabool met vergelijking $y = p x^{2} - p x + 3$ .

Neem $p = 3$ , dus $y = 3 x^{2} - 3 x + 3$ .

Bereken algebraïsch de coördinaten van de top.

Bereken algebraïsch voor welke waarde van $p$ de vergelijking $p x^{2} - p x + 3 = 0$ precies één oplossing heeft.

Waar ligt voor deze waarde van $p$ de top van de parabool?