2.6 Eindpunt >

Hoofdstukken > Berekeningen in een driehoek

Pythagoras

Stelling van Pythagoras

Als driehoek $A B C$ rechthoekig is in $C$ dan geldt: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Omgekeerde van de stelling van Pythagoras

Als in driehoek $A B C$ voor de zijden geldt: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , dan is de hoek in $C$ recht.

Oppervlakte driehoek

De oppervlakte van driehoek $A B C$ is $\frac{1}{2} a \cdot b \cdot sin (γ) = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot sin (α) = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot sin (β)$ .

Sinusregel

In driehoek $A B C$ geldt:
$\frac{sin (α)}{a} = \frac{sin (β)}{b} = \frac{sin (γ)}{c}$

Cosinusregel

In driehoek $A B C$ geldt:
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b \cdot c \cdot cos (α)$
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a \cdot c \cdot cos (β)$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a \cdot b \cdot cos (γ)$

Sinus en cosinus

Tabel

	$30 °$	$45 °$	$60 °$
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$
cos	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$

Afspraak

Voor een stompe hoek $α$ spreken we af:
$\sin (α) = \sin (180 ° - α)$ en $\cos (α) = ‐ \cos (180 ° - α)$
Bijvoorbeeld:
$\sin (120 °) = \sin (60 °) = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ en $\cos (120 °) = ‐ \cos (60 °) = ‐ \frac{1}{2}$ .

Voorbeeld:

Geef van de volgende vergelijkingen in $α$ de oplossingen tussen $0$ en $180$ graden in twee decimalen.

$\sin (α) = 0,3$
$\cos (α) = 0,3$
$\cos (α) = ‐ 0,3$

Oplossing

Er zijn twee oplossingen.
De GR geeft: $\sin^{‐ 1} (0,3) = 17,457 \dots$ , dus $α = 17,46 °$ of $α = 162,54 °$ .
De GR geeft: $\cos^{‐ 1} (0,3) = 72,542 \dots$ , dus de enige oplossing is $α = 72,54 °$ .
De GR geeft: $\cos^{‐ 1} (‐ 0,3) = 107,457 \dots$ , dus de enige oplossing is: $α = 107,46 °$ .

Gelijkvormig

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de een een uitvergroting is van de ander.
Dit is het geval al ze twee hoeken hetzelfde hebben. Corresponderende zijden hebben dan dezelfde verhouding.
De driehoeken $A B C$ en $P Q R$ zijn gelijkvormig.
$\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}$ .
Je kunt ook zeggen: $a : b : c = p : q : r$ .

De afstand van twee punten

De afstand van $P (p, q)$ tot $A (a, b)$ in een assenstelsel is:
$\sqrt{{(p - a)}^{2} + {(q - b)}^{2}}$ .