1.5 Steilheid van een grafiek >

Hoofdstukken > Hellingen

Hieronder staat nog een keer de tijd-hoogte-grafiek van Annekes wandeling van Umhausen naar de Erlanger Hütte.
(Zie opgave 37.)

De hoogte waarop Anneke zich bevindt neemt op de heenweg op elk moment even sterk toe en op de terugweg even sterk af.

Hoe zie je dat aan de grafiek?

Met hoeveel meter per minuut neemt de hoogte op de heenweg toe?
Moet hoeveel meter per minuut neemt de hoogte op de terugweg af?

Iemand draait een slagboom omhoog vanuit de horizontale naar de verticale stand. De slagboom is $6$ meter lang vanaf het draaipunt gemeten; het draaipunt is $1$ meter boven de grond. Hij doet dat zo dat de hellingshoek gelijkmatig toeneemt: elke seconde $10 °$ . We letten op de hoogte $H$ van het uiteinde van de slagboom boven de grond (in meters). Hieronder is de grafiek van $H$ getekend.

Lees uit de grafiek af na hoeveel seconden de draaiing halverwege is.
Hoe groot is $H$ dan ongeveer?

Neemt $H$ op elk moment even snel toe?
Hoe zie je dat in de grafiek?

Teken in gedachten een driehoekje bij de grafiek tussen de punten bij $t = 4$ en $t = 5$ als volgt:

Hoe groot is de verticale zijde van het driehoekje ongeveer?

Hoe snel neemt $H$ ongeveer toe als de draaiing halverwege is (in m/s), dat is als $t = 4 \frac{1}{2}$ ?

Een lat van $5$ dm staat verticaal tegen een muur.
Het voetpunt wordt met snelheid $1$ dm per seconde over de vloer weggetrokken.
We letten op de hoogte $H$ van het hoogste punt van de lat. Na $5$ seconden ligt de lat dus op de vloer.
Hieronder staat de grafiek van $H$ .

Neemt $H$ op elk moment even snel af?
Hoe zie je dat in de grafiek?

Lees af hoe groot $H$ is na $2,5$ seconden.
Maak op schaal een tekening van de stand van de lat op dat moment.
Bereken de waarde van $H$ op dat moment afgerond 2 decimalen.

Teken een driehoekje bij de grafiek tussen de punten bij $t = 2$ en $t = 3$ .
Hoe groot is de verticale zijde van het driehoekje ongeveer?

Hoe snel neemt $H$ ongeveer af na $2,5$ seconden (in dm/s)?

De skipiste hieronder is vanaf het laagste punt verdeeld in horizontale stukken van $10$ m.

De hoogte noemen we $y$ , de horizontale afstand $x$ (beide in m). Zoals je ziet neemt $y$ op de piste niet overal even snel toe.

Over $130$ meter horizontaal neemt de hoogte $65$ meter toe.

Hoeveel is dat gemiddeld per meter horizontaal?

Dat is de gemiddelde stijging $\frac{Δ y}{Δ x}$ van de hele piste.

Bepaal de gemiddelde stijging $\frac{Δ y}{Δ x}$ van het stukje piste tussen $x = 20$ en $x = 30$ .

Ook voor het stukje tussen $x = 50$ en $x = 60$ .
En voor het stukje tussen $x = 60$ en $x = 70$ .

Hoe steil ongeveer is de helling op de plaats waar de skiër zicht bevindt (zie plaatje); dat is dus bij $x = 60$ ?

Hieronder zie je de profielschets van een bergje getekend door een computer. We willen nauwkeurig weten hoe steil de berg is in het punt $P (2,2 \frac{1}{2})$ .

Controleer met een berekening dat de gemiddelde stijging van de berg tussen $A$ en $P$ gelijk is aan $1,25$ .
Hoe groot is de gemiddelde stijging tussen $P$ en $B$ ?

Deze twee gemiddeldes geven nog maar weinig informatie over de steilte van de berg in de onmiddellijke omgeving van $P$ . Om die te vinden gaan we "inzoomen" op een omgeving van $P$ .

Het omkaderde deel in het linker plaatje is vergroot weergegeven in het rechter plaatje.

Hoe groot ongeveer is de gemiddelde stijging van de berg in het rechter plaatje?

Het inzoomen en vergroten herhalen we nog drie keer. Zodoende krijgen we een steeds beter beeld van de steilte van de berg ter plekke $P$ .

Bepaal in elk van de drie rechter plaatjes de gemiddelde stijging.

De grafiek in het laatste plaatje is zo goed als een rechte lijn. Dit plaatje geeft daarom een goed beeld van de steilte van de berg ter plekke $P$ .

Hoe groot is die dus?

Opmerking:

Als je de grafiek van een functie op de grafische rekenmachine hebt getekend, kun je ook herhaald inzoomen op een bepaald punt van de grafiek. Zoek uit hoe dat op jouw GR werkt.

Hieronder is een grafiek getekend. In vier punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ is de grafiek sterk uitvergroot. De stukjes grafiek zien er dan praktisch als een rechte lijn uit. Dat zie je in de vier plaatjes onder de grafiek.

Waar liggen de punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ op de grafiek?
Wat zijn de $x$ -coördinaten van $A$ , $B$ , $C$ en $D$ ongeveer?

Meet hoe steil de grafiek is in elk van deze punten.

Hieronder is een parabool getekend voor $0 \leq x \leq 8$ .

Bepaal zo goed mogelijk de steilte van de grafiek in de punten met $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $x = 3$ , $x = 4$ , $x = 5$ , $x = 6$ , $x = 7$ en $x = 8$ .

De grafiek hieronder bestaat uit twee rechte lijnstukken $A B$ en $C D$ met daartussen een stukje parabool.

Bepaal zo goed mogelijk de steilte van de grafiek in de punten met $x = ‐ 4$ , $x = ‐ 3$ , $x = ‐ 2$ , $x = ‐ 1$ , $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $x = 3$ en $x = 4$ .

Opmerking:

We hebben nu twee manieren gezien om de steilte van een grafiek in de onmiddellijke omgeving van een punt op de grafiek te bepalen.

Door de grafiek sterk bij dat punt uit te vergroten tot de grafiek zo goed als recht lijkt en dan de steilte (ofwel rc) van deze lijn te bepalen.
Door "op het oog" te schatten hoe groot $\frac{Δ y}{Δ x}$ is.

We zullen nu een directe, nauwkeurigere manier leren om de steilte te bepalen.
In een latere paragraaf zullen we, als we een formule voor de grafiek kennen, leren hoe de helling exact te berekenen.

Hieronder staat nog eens de skipiste van opgave 48.

De steilte van de piste in het punt $A$ wordt aangegeven door de ski's. In die richting is een lijn getrokken. Die lijn noemen we de raaklijn aan het bergprofiel in het punt $A$ .
De richtingscoëfficiënt van deze raaklijn is de steilte van de skipiste in het punt $A$ .

Hoe groot is die steilte in punt $A$ ?

Bepaal zo ook via de raaklijn de steilte in de punten $B$ en $C$ .

Op de grafiek hieronder is het punt $P$ aangegeven. Er zijn zes lijnen getekend door $P$ , genummerd 1 t/m 6.

Welk van de lijnen is de raaklijn?

Wat is de steilte van de grafiek in het punt $P$ ?

De raaklijn heeft een bijzondere eigenschap die de andere vijf lijnen niet hebben.

Welke eigenschap is dat?

Het is nog niet zo gemakkelijk om nauwkeurig een raaklijn te tekenen. In twee gevallen is het wel gemakkelijk.

Als de grafiek een (stuk van) een rechte lijn is, is het flauw: de raaklijn is dan de grafiek zelf.
Als de grafiek een (stuk van) een cirkel is, is de raaklijn ook eenvoudig te tekenen.

Hoe dan?

Wat is de exacte steilte van de cirkel hiernaast in het aangegeven punt $P$ ?

Verder heeft iedereen zijn eigen privé methode om een raaklijn te tekenen.

Hoe doe jij dat?

Hieronder is een parabool getekend.

Bepaal met behulp van de applet steilte_parabool (of met het werkblad) met raaklijnen de steilte van de parabool in de punten met $x = ‐ 2$ , $x = ‐ 1$ , $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $x = 3$ , $x = 4$ , $x = 5$ en $x = 6$ .
Rond de steiltes af op gehele getallen; schrijf je resultaten overzichtelijk in een tabel.

Als je het goed gedaan hebt, zit er een mooie regelmaat in deze steiltes.

Voorspel op grond van de regelmaat in de tabel de steilte van de grafiek in het punt met $x = 10$ .

Druk de steilte in het punt met $x = a$ uit in $a$ .