6.2 Helling en raaklijn >

Hoofdstukken > Helling en groei

Een loper loopt een trainingsronde van een uur. Hij gaat snel van start: in het eerste kwartier loopt hij $3$ km. Daarna doet hij het wat rustiger aan en loopt $3$ km in $20$ minuten. Daarna versnelt hij weer en loopt $2,5$ km in $10$ minuten. Tenslotte loopt hij in een kwartier nog $1,5$ km.

Wat is de gemiddelde snelheid van de loper over het gehele traject?

Bereken de snelheid (in km/uur) van de loper op elk van de vier hierboven beschreven deeltrajecten.

Teken op het werkblad de grafiek van de afstand (in km) die de loper aflegt tegen de tijd (in minuten).

Bereken de gemiddelde snelheid van de loper in het eerste half uur. En ook in het tweede half uur.

Opmerking:

We hebben in de vorige opgave bij verschillende tijdsintervallen de gemiddelde snelheid berekend, dit is de toename van de afstand in verhouding tot de toename van de tijd. Hoe steiler de helling in de grafiek, des te groter is de snelheid.

In het algemeen vergelijken we in een grafiek de toename van een variabele $y$ met de toename van een variabele $x$ , door te kijken naar $\frac{Δ y}{Δ x}$ . Dit deden we al eerder in hoofdstuk 4. We noemen dit de gemiddelde helling tussen twee punten. Dit is ook de richtingscoëfficiënt van de lijn in de grafiek die deze twee punten verbindt.

In de figuur hiernaast zijn vier lijnen ( $k$ , $l$ , $m$ en $n$ ) getekend.

Bereken van elk van deze lijnen de helling. Kies daarbij telkens twee handige roosterpunten.

Geef van elke lijn een formule.

Teken in een assenstelsel de volgende vier lijnen.

Lijn $p$ door het punt $(2,5)$ met helling $4$ .

Lijn $q$ door het punt $(‐ 3,2)$ met helling $1,5$ .

Lijn $r$ door het punt $(4, ‐ 1)$ met helling $‐ 3$ .

Lijn $s$ door het punt $(‐ 1, ‐ 3)$ met helling $0$ .

Geef van elke lijn een formule.

Bekijk de volgende grafiek.

Lees zo goed mogelijk af wat de gemiddelde helling $\frac{Δ y}{Δ x}$ is als $x$ toeneemt van $1$ tot $3$ .

Doe dit ook als $x$ toeneemt van $1$ tot $2$ en als $x$ toeneemt van $1$ tot $1,5$ .

We willen graag de helling weten op een klein interval, d.w.z. met $Δ x$ heel klein. Maar voor kleine waarden van $Δ x$ is nauwkeurig aflezen niet meer goed mogelijk. Als je echter een formule van de grafiek kent, dan kun je de gemiddelde helling wel nauwkeurig berekenen.

De formule die bij de grafiek hoort is $y = 8 x^{2} - x^{3}$ .
Zo is de gemiddelde helling als $x$ toeneemt van $1$ tot $2$ als volgt te berekenen:

bij $x = 1$ hoort $y = 7$
bij $x = 2$ hoort $y = 24$ (ga dat na)
dan is $Δ x = 2 - 1 = 1$
en $Δ y = 24 - 7 = 17$
dus de gemiddelde helling is $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{17}{1} = 17$

De gemiddelde helling uitrekenen als $x$ toeneemt van $1$ tot $1,5$ gaat op dezelfde manier. Neem over en vul in:

bij $x = 1$ hoort $y = 7$
bij $x = 1,5$ hoort $y = .....$
dan is $Δ x = .....$
en $Δ y = .....$
dus de gemiddelde helling is $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{.....}{.....} = .....$

Bereken op dezelfde manier met behulp van de formule de gemiddelde helling $\frac{Δ y}{Δ x}$ in elk van de volgende gevallen:

als $x$ toeneemt van $1$ tot $1,1$ ,
als $x$ toeneemt van $1$ tot $1,01$ ,
als $x$ toeneemt van $1$ tot $1,001$ .

De laatste drie waarden zijn afgerond op een geheel getal hetzelfde.

Wat is die afgeronde waarde?

Opmerking:

Door $Δ x$ steeds kleiner te nemen, bekijken we de grafiek steeds gedetailleerder in het punt $(1,7)$ : we zoomen in op de grafiek.
Zie de applet "helling_zoomen" . Welke richtingscoëfficiënt vind je met de applet?

Dat kan ook op de GR.

Teken op de GR de grafiek van $Y_{1} = 8 X^{2} - X^{3}$ . Ga met de cursor naar het punt $(1,7)$ . Zoom vervolgens in. Je kunt dit vaker herhalen. De grafiek op het scherm van de GR gaat bij dit inzoomen steeds meer op een rechte lijn lijken. De richtingscoëfficiënt van die lijn is het getal $13$ dat je in opgave 14e hebt berekend. We noemen dat getal de helling van de grafiek in het punt $(1,7)$ . Dit getal geeft aan hoe steil de grafiek in het punt $(1,7)$ loopt.

Op de GR zit ook een optie waarmee je de helling van de grafiek in een bepaald punt kunt berekenen. Vaak heet zo’n optie dy/dx. Check eens of je hem kunt vinden. Vraag anders of je docent je wil helpen.

Bekijk nog eens de grafiek van $y = 8 x^{2} - x^{3}$ .

Bepaal met een klein interval, met $Δ x = 0,01$ , de helling van de grafiek van in het punt $(2,24)$ . Doe dat ook in het punt $(4,64)$ en in het punt $(6,72)$ .

Bepaal ook de helling van de grafiek in de bij a genoemde punten met behulp van de optie dy/dx op de GR.

Bepaal ook de helling van de grafiek in de bij a genoemde punten met behulp van de de applet "helling_zoomen" .

We gaan de helling van de grafiek van $y = x^{2}$ bepalen in het punt $(2,4)$ .

Ga na dat de gemiddelde stijging $\frac{Δ y}{Δ x}$ als $x$ toeneemt van $2$ tot $2,01$ ongeveer $4$ is.

Hieronder zie je de grafiek van $y = x^{2}$ en daarnaast een uitvergroot gedeelte in de buurt van $x = 2$ .

De uitvergrote grafiek is praktisch een rechte lijn met richtingscoëfficiënt $4$ ; die helling had je al in a gevonden.
Ook in de niet-uitvergrote grafiek is de lijn door het punt $(2,4)$ getekend met richtingscoëfficiënt $4$ . Deze lijn geeft goed aan hoe steil de grafiek loopt in het punt $(2,4)$ . We noemen hem de raaklijn aan de grafiek in $(2,4)$ .

Bepaal de richtingscoëfficiënt van de raaklijnen in de punten $(0,0)$ , $(1,1)$ en $(3,9)$ op vier verschillende manieren:

door berekening van de gemiddelde stijging $\frac{Δ y}{Δ x}$ als $x$ toeneemt met $0,01$ .
door de optie dy/dx op de GR te gebruiken.
door een raaklijn te tekenen op het werkblad.
met de applet "helling_parabool" .

Vind je bij vraag b steeds ongeveer dezelfde getallen?

De helling in een punt van een kromme grafiek kun je vinden door zo goed mogelijk een raaklijn te tekenen in dat punt en de richtingscoëfficiënt van die raaklijn nauwkeurig te bepalen.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn bepaal je door de coördinaten van twee punten op de lijn af te lezen die niet te dicht bij elkaar liggen. Met deze twee punten bereken je dan de waarde van $\frac{Δ y}{Δ x}$ .

Op de grafiek hieronder is het punt $P$ aangegeven. Er zijn zes lijnen getekend door $P$ , genummerd 1 t/m 6.

Welk van de lijnen is de raaklijn?

Wat is de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn? Wat is dus de helling van de grafiek in punt $P$ ?

Bekijk de volgende grafiek. We kennen geen formule van deze grafiek. We kunnen de hellingen dus niet berekenen. Maar we kunnen de hellingen wel aflezen uit de grafiek.

Teken op het werkblad zo goed mogelijk de raaklijnen in de punten met $x$ -waarden $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ en $5$ . Lees daarmee zo nauwkeurig mogelijk af wat de hellingen zijn in deze punten. Noteer deze vervolgens in een tabel zoals hieronder:

Opmerking:

Je kunt eigenlijk direct zien wat de helling is bij $x = 2$ en bij
$x = 4$ . Dat komt omdat de grafiek daar een maximum heeft of een minimum. En in een maximum of een minimum is de helling altijd gelijk aan nul, tenminste als de grafiek glad is, d.w.z. dat hij geen knikken heeft.

Een grafiek die niet overal glad is, is de grafiek van $y = \sqrt{x^{2}}$ .

Teken deze grafiek op je GR. Neem de assen van $‐ 5$ tot en met $5$ .

Leg uit dat deze grafiek een minimum heeft. In welk punt?

De helling in dat punt is echter niet gelijk aan nul.

Leg zo goed mogelijk uit wat er volgens jou hier aan de hand is. Is er eigenlijk wel een helling in dat minimum?

Een andere grafiek waarmee iets vreemds aan de hand is, is de grafiek van $y = x^{3}$ .

Teken deze grafiek op je GR. Neem $x$ van $‐ 2$ tot en met $2$ en $y$ van $‐ 10$ tot en met $10$ .

Bereken heel nauwkeurig de helling van de grafiek in het punt $(0,0)$ . Hoe groot is deze helling volgens jou?

Leg uit dat de helling van deze grafiek in het punt $(0,0)$ gelijk is aan nul, maar dat de grafiek in dit punt geen maximum of minimum heeft.

Hieronder staat de grafiek van een kostenfunctie. Hierbij is de variabele $x$ het dagelijks aantal geproduceerde eenheden in honderden stuks. Verticaal staan de kosten in euro’s. De grafiek staat ook op het werkblad.

De helling van de grafiek geeft aan hoe snel de kosten stijgen.

Teken in de grafiek op het werkblad de raaklijnen bij $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $x = 3$ en $x = 4$ .

Lees zo nauwkeurig mogelijk af wat de helling is bij $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $x = 3$ en $x = 4$ . Kies daarvoor telkens twee punten op de raaklijn niet te dicht bij elkaar.

Als er $300$ eenheden geproduceerd worden, zijn de kosten $220$ euro. De helling van de grafiek bij $x = 3$ heb je bij b bepaald. Deze helling is (ongeveer) $120$ .

Leg uit dat de kosten bij een productie van $310$ eenheden dan ongeveer $232$ euro zijn.

Als er $200$ eenheden geproduceerd worden, dan zijn de kosten $116$ euro.

Benader hiermee, en met de helling die je bij b hebt gevonden, de kosten als er $225$ eenheden geproduceerd worden.

Als er $400$ eenheden geproduceerd worden, dan zijn de kosten $380$ euro.

Benader hiermee, en met de helling die je bij b hebt gevonden, de kosten als er $385$ eenheden geproduceerd worden.