gemiddelde toename

Elk jaar brengt de VN het Wereld Bevolkingsrapport uit.
Daarin wordt de bevolkingsgroei voor de komende tijd voorspeld. Hieronder is de prognose van de VN in grafiek gebracht. De wereld is daarin verdeeld in zes delen.

De VN maakt zich zorgen over de omvang van de wereldbevolking.

Waarom zou men zich zorgen maken?

In het rapport worden zes delen van de wereld onderscheiden.

Tot welk van de zes delen wordt Australië gerekend, denk je?

Vertel kort wat je uit de grafiek kunt aflezen over het verschil in groei van de zes delen.

In het jaar 1990 woonden ongeveer $20 %$ van de wereldbevolking in China.

Hoe zal dat in 2150 zijn?

De wereld werd in 2000 bewoond door $6,7$ miljard mensen en zal in 2150 door $11,6$ miljard mensen worden bewoond.

Met hoeveel mensen neemt de wereldbevolking gemiddeld per jaar toe in die periode? Met hoeveel mensen is dat per dag? En met hoeveel per seconde?

Hieronder zijn twee temperatuurverlopen in beeld gebracht: $T_{1}$ en $T_{2}$ .

Welk van de twee varieert het meest, $T_{1}$ of $T_{2}$ ?

Lees af hoe laat ongeveer $T_{1}$ en $T_{2}$ gelijk zijn.

De temperatuur $T_{2}$ stijgt tussen $5$ en $10$ uur vrijwel gelijkmatig.

Met hoeveel graden Celsius per uur?

De temperatuur $T_{2}$ daalt tussen $14$ en $24$ uur vrijwel gelijkmatig. De stijging per uur is nu negatief.

Hoeveel graden Celsius bedraagt de stijging per uur?

$T_{2}$ stijgt tussen $8$ en $12$ uur niet gelijkmatig. Op het eind van die periode is de stijging veel minder dan in het begin.

Hoeveel graden Celsius bedraagt dan de gemiddelde stijging van $T_{2}$ per uur?

Over de periode van $0$ tot $16$ uur bekeken, daalde $T_{2}$ aanvankelijk, om vervolgens flink te stijgen en dan weer te dalen. In totaal is de temperatuur toegenomen.

Met hoeveel graden Celsius gemiddeld per uur?

$T_{1}$ en $T_{2}$ zijn de temperaturen van de lucht en van de grond op een zelfde dag in mei.

Wat denk je is de luchttemperatuur, $T_{1}$ of $T_{2}$ ?

Hieronder staat de grafiek van de goudprijs tussen 9 augustus 2010 en 8 augustus 2011. Met name in de laatste dagen is de goudprijs snel gestegen; dat kwam door de onrust op de financiële markten. Voorbeeld: op 14 februari 2011 bedroeg de goudprijs $1365$ dollar per ounce.

De goudprijs wordt elke werkdag aangepast (op zaterdag en zondag ligt de handel stil).
De grafiek verloopt erg schokkerig.

Hoeveel “schokjes” zijn er ongeveer in de grafiek?

Stel je had voor $100$ dollar goud gekocht op 9 augustus 2010 en je verkoopt het weer op 8 augustus 2011.

Hoeveel winst zou je dan hebben gemaakt?

Hoeveel steeg de goudprijs in deze periode gemiddeld per maand?

En per dag?

We kijken nog even terug naar opgave 15. De wereldbevolking in miljarden noemen we $B$ , de tijd in jaren noemen we $t$ .
We lezen het volgende af:

Als $t = 2000$ , dan $B = 6,7$ ; als $t = 2150$ , dan $B = 11,7$ .
De toename van $t$ is $150$ ; de toename van $B$ is $4,9$ .
Dit is de gemiddelde toename per jaar $\frac{4,9}{150} \approx 0,033$ .

Voor toename wordt de Griekse letter $Δ$ (delta) gebruikt, vergelijkbaar met onze hoofdletter $D$ .
$Δ B$ = toename van de wereldbevolking
$Δ t$ = toename van de tijd
$\frac{Δ B}{Δ t}$ = gemiddelde toename van de wereldbevolking

Het voorgaande kun je schematisch zó opschrijven:

$t = 2150$	$\to$	$B = 11,6$
$\underline{t = 2000}$	$\to$	$\underline{B = 6,7}$
$Δ t = 150$	$\to$	$Δ B = 4,9$

De gemiddelde toename is: $\frac{Δ B}{Δ t} = \frac{4,9}{150} \approx 0,033$ .

Terug naar opgave 17.
$P$ is de goudprijs (in dollar/ounce).
We rekenen de tijd $t$ in dagen vanaf 9 augustus 2010.

Vul het rekenschema in en bereken daarmee de gemiddelde prijsstijging per dag over de periode 090810 - 080811.

$t = ......$	$\to$	$P = ......$
$\underline{t = ......}$	$\to$	$\underline{P = ......}$
$Δ t = ......$	$\to$	$Δ P = ......$

De gemiddelde toename is: $\frac{Δ P}{Δ t} = ...... \approx ......$ .

Terug naar opgave 16.
$T_{2}$ is de luchttemperatuur in graden Celsius, $t$ is de tijd in uren.

Maak een rekenschema en bereken daarmee de gemiddelde temperatuurstijging $\frac{Δ T}{Δ t}$ per uur tussen $8$ en $20$ uur.

Een auto rijdt over een drukke snelweg. Af en toe is het zo druk dat de auto stapvoets moet rijden; op andere stukken kan hij wel aardig opschieten. Om $12.00$ uur passeert de auto kilometerbordje 45, om $15.00$ uur bordje 168. De afgelegde afstand in km noemen we $A$ , de tijd in uren noemen we $t$ .

Maak een rekenschema en bereken daarmee de $\frac{Δ A}{Δ t}$ tussen $12.00$ en $15.00$ uur.

Wat stelt $\frac{Δ A}{Δ t}$ voor?

toenamediagram

De hoeveelheid kunststofafval die gescheiden wordt ingezameld is toegenomen van $6$ miljoen kilogram in 2006 tot $13$ miljoen kilogram in 2008. Dat is meer dan een verdubbeling. Zie onderstaande grafiek.

De hoeveelheid kunststof in het huishoudelijk restafval wordt geraamd op $750$ miljoen kilogram (2008). Dat betekent dat in 2008 slechts $1,7$ procent van het totaal aan kunststoffen in het huishoudelijk afval gescheiden is ingezameld. (gegevens van het CBS)

Reken na dat dat klopt.

Hoeveel steeg de ingezamelde hoeveelheid kunststofafval per jaar tussen 2006 en 2008?

De totale hoeveelheid kunststof in 2008 is $8,3 %$ van de totale huishoudelijke afvalproductie in 2008.

Hoeveel huishoudelijk afval werd er in Nederland in 2008 in totaal geproduceerd?

Nederland telde in 2008 $16,5$ miljoen mensen.

Maak een schatting van de hoeveelheid kunststofafval die een gezin van twee ouders en drie kinderen dagelijks in 2008 produceerde.

Verrast de sterke stijging van de hoeveelheid ingezamelde kunststofafval jou?

We gaan kijken naar de verandering in geproduceerde hoeveelheid kunststofafval in de opvolgende jaren.
We maken daarvan een tabel:

periode	00-01	01-02	02-03	03-04	04-05	05-06	06-07	07-08
toename	$0,2$

Neem de tabel over en vul hem in.

Teken het toenamediagram.

Bekijk de volgende tabel van het verband tussen twee grootheden $x$ en $y$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$4$	$6$	$3$	$4$	$7$	$7$	$8$
$Δ y$	-	$2$

Als $x$ toeneemt van $0$ naar $1$ , neemt $y$ toe met $2$ . Dat is in de tabel bij $Δ y$ ingevuld onder $x = 1$ . Onder $x = 0$ wordt niets ingevuld.

Neem de tabel over; vul de overige toenames van $y$ in.

Maak een toenamediagram. Daarmee is een begin gemaakt.
Let op: de toename van $y$ als $x$ toeneemt van $0$ naar $1$ wordt geplaatst bij $x = 1$ .

Nog eens de luchttemperatuur ( $T_{2}$ ) van opgave 16.

We bekijken de temperatuur om de twee uur, te beginnen bij $0$ uur. De eerste toename (tussen $0$ en $2$ uur) is $‐ 4 ° C$ .

Hoeveel toenames hebben we in een etmaal, d.w.z. een periode van $24$ uur?

Maak het toenamediagram (dus met $Δ x = 2$ ).

Getekend is het toenamediagram van een variabele $y$ .

Verder is op tijdstip $t = 4$ gegeven dat $y = 5$ .

Met hoeveel neemt $y$ toe als $t$ toeneemt van $4$ tot $5$ ?
Hoe groot is $y$ dus als $t = 5$ ?

Bepaal ook hoe groot $y$ is als $t = 6$ en als $t = 7$ .

Met hoeveel neemt $y$ toe als $t$ toeneemt van $3$ tot $4$ ?
Hoe groot is $y$ dus als $t = 3$ ?

Bepaal hoe groot $y$ is als $t = 2$ , als $t = 1$ en als $t = 0$ .

Schets een grafiek die past bij het toenamediagram.

In een assenstelsel is een grafiek getekend (met $x$ op de horizontale as en $y$ op de verticale as). Van de grafiek zijn twee punten gegeven: $(1,1)$ en $(4,7)$ .

Bereken $\frac{Δ y}{Δ x}$ op het $x$ -interval $1 \leq x \leq 4$ , dat wil zeggen dat het beginpunt bij $x = 1$ en het eindpunt bij $x = 4$ ligt.

Op grond hiervan zijn er nog allerlei grafieken mogelijk.

Leg uit dat elk van onderstaande toenamediagrammen mogelijk is bij de situatie die hierboven beschreven is.

Schets bij elk van de toenamediagrammen een mogelijke grafiek.

Van een grafiek (met $x$ op de horizontale as en $y$ op de verticale as) staat hieronder een toenamediagram.

Wat is de gemiddelde toename van $y$ op het $x$ -interval
$3 \leq x \leq 11$ ?

Bereken $\frac{Δ y}{Δ x}$ op het $x$ -interval $0 \leq x \leq 16$ .

Zoek een $x$ -interval waarop $\frac{Δ y}{Δ x}$ gelijk aan $0$ is.

Anneke heeft van een zekere grafiek $\frac{Δ y}{Δ x}$ berekend voor een paar $x$ -intervallen: er kwam steeds dezelfde gemiddelde toename uit, namelijk $1 \frac{1}{2}$ .

Wat kun je van de grafiek vertellen, als je weet dat voor ieder interval $\frac{Δ y}{Δ x}$ de waarde $1 \frac{1}{2}$ heeft?