In de vorige paragrafen heb je gezien hoe we een 'berg' cijfers op verschillende manieren overzichtelijk in beeld kunnen brengen. Soms willen we de 'berg' cijfers nog compacter weergeven. In de komende drie paragrafen kijken we naar de kengetallen en hoe deze berekend worden.

1

Het jaarcijfer voor wiskunde wordt berekend aan de hand van alle proefwerkcijfers van het afgelopen jaar.
De negen proefwerkcijfers van Anneke waren: 7 , 7 , 7 5 , 8 , 2 , 6 , 6 5 , 7 , 6 .

a

Waarom worden er rapportcijfers gegeven en worden niet gewoon alle proefwerkcijfers op het rapport vermeld?

b

Wat wordt Annekes jaarcijfer als de docent het afgeronde gemiddelde als cijfer gebruikt?

c

Welk cijfer krijg je als hij de mediaan van de proefwerkcijfers neemt?

d

Welke maat geeft hier het eerlijkste beeld van de prestaties voor wiskunde, vind je?

2

In Cook County (Verenigde Staten) is bijgehouden hoe groot de schadevergoedingen waren die aan mensen werden toegekend in verband met medische fouten, defecte apparaten, verwondingen, enzovoort.
De mediaan was 8000  dollar. Het gemiddelde was 69.000  dollar.

Hoe verklaar je het grote verschil tussen het gemiddelde en de mediaan?

Het gemiddelde, de mediaan en de modus zijn kengetallen voor het midden van een groep getallen. Ze geven aan waar het centrum van een 'berg' cijfers ongeveer ligt. Ze worden daarom centrummaten genoemd.

  • Bij de mediaan is dat letterlijk zo. Als je de getallen naar grootte ordent, is de mediaan het 50 -percentiel: het middelste getal of (bij een even aantal getallen) het gemiddelde van de middelste twee getallen.

  • De modus is de meest voorkomende waarneming.

  • Het gemiddelde is de som van de getallen gedeeld door hun aantal.


Welke van deze drie gekozen wordt, is afhankelijk van het onderzoek en van de situatie. Als de gegevens redelijk bij elkaar liggen, zal vaak voor het gemiddelde gekozen worden. Als er sprake is van enkele uitschieters dan zal men juist niet voor het gemiddelde willen kiezen, maar eerder voor de mediaan of de modus.

3

Leg uit waarom in zo'n situatie met enkele uitschieters niet het gemiddelde gekozen wordt. Ondersteun je uitleg met een getallenvoorbeeld.

4

Gebruik in deze opgave alleen maar de cijfers 1 t/m 10 .

a

Verzin een rij van zeven cijfers waarbij het gemiddelde 6 is en de mediaan 5 .

b

Verzin een rij van zeven cijfers waarbij het gemiddelde 6 en de modus 5 is.

c

Verzin een rij van zeven cijfers waarbij de modus 5 is en die het grootst mogelijk gemiddelde heeft.

5

Een school heeft twee havo 4 klassen.
Klas 4A heeft 22  leerlingen, die gemiddeld een 6,2 voor een proefwerk hebben.
Klas 4B, met 26  leerlingen, haalde gemiddeld een 6,8 .

Bereken het gemiddelde cijfer voor heel havo 4.

Voorbeeld:

In opgave 35 heb je gezien dat de mediaan gemakkelijk uit een histogram te schatten is. Hoe zit dat met het gemiddelde? Laten we eerst een eenvoudig geval bekijken.

Het gemiddelde is 7 , immers drie 5 -en leveren 6 “verliespunten” ten opzichte van 7 en twee 10 -en leveren 6 “winstpunten” ten opzichte van 7 .

6
a

Wat is de mediaan van onderstaand histogram?

Het gemiddelde is 7 .

b

Reken dit na door verliespunten en winstpunten te berekenen, zoals in het voorbeeld.

7

Het is niet verbazingwekkend dat bij histogram A zowel het gemiddelde als de mediaan 7,5 is.

Histogram B krijg je door een ' 6 ' te vervangen door een ' 3 '.

Histogram A
Histogram B
a

Leg uit dat hierdoor de mediaan niet en het gemiddelde wel verandert.

b

Waar op de horizontale as liggen de mediaan en het gemiddelde van histogram B?

8

Waar liggen de modus, de mediaan en het gemiddelde in onderstaand histogram?

9

Een onderzoek naar gezinsgrootte leverde de onderstaande gegevens op.

Het gemiddeld aantal kinderen per gezin kan alleen uitgerekend worden als “ 7 of meer” nauwkeuriger wordt vastgelegd.

a

Bereken het gemiddelde als “ 7 of meer” vervangen wordt door “ 7 ”.

b

Hoe verandert het gemiddelde als “ 7 of meer” gelezen wordt als “ 8 ”?

Kennelijk maakt het in dit geval niet zo veel uit wat er voor
7 of meer” gelezen wordt.

c

Hoe verklaar je dat?