2.11  Rekentechniek: breuken

In deze paragraaf gaan we het rekenen met breuken herhalen. Bovendien gaan we ook rekenen met breuken als er een of meerdere variabelen in de breuk voorkomen.

Breuken optellen en aftrekken
1

In de figuur hieronder kun je aflezen hoe je de breuken 1 4 en 2 3 bij elkaar kunt optellen.

a

Bereken op dezelfde manier de uitkomst van de som 1 3 + 2 5 .
Gebruik eventueel als hulp de figuur hieronder.

Voor 1 4 + 2 3 verdeelden we de cirkel in twaalf stukjes. Voor 1 3 + 2 5 in vijftien stukjes.

b

Als je 3 7 + 1 2 wilt berekenen, in hoeveel stukjes zou je de cirkel dan verdelen?
Bereken de uitkomst, met tussenstappen.

Als je breuken bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt, moet je er voor zorgen dat de noemers gelijk zijn.

Voorbeeld:

Optellen en aftrekken kan ook met variabelen. Hieronder staan twee voorbeelden.

2 a + 3 7 = 14 7 a + 3 a 7 a = 14 + 3 a 7 a

2 a 3 a 5 = 10 a 15 3 a 15 = 7 a 15

2
a

Bereken op dezelfde manier als in de voorbeelden hierboven de onderstaande sommen. Schrijf alle tussenstappen op en schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

a 3 + a 9

3 a + 9 a

5 a 6 + a 9

3 a + 2 5

a 3 2 a 9

3 a a 1 2

4 a 3 5 a 9

2 7 1 a

b

Bereken de onderstaande sommen. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. Schrijf ook je tussenstappen op ( p en q zijn variabelen en blijven in je antwoord staan).

2 3 + 1 12

p 5 + 1 2

3 7 1 4

1 5 1 7

1 2 1 4 + 1 5

4 5 3 7

2 5 + 1 2

3 5 q 7

4 5 + 1 2

p 2 + q 3

c

Bereken (met tussenstappen) de onderstaande sommen en schrijf je antwoord als één breuk en zo eenvoudig mogelijk.

3 p + 1 3

4 5 2 p

p 2 + 2 p

p + 1 p

1 p + 1 q

2 p 3 q

q p + p q

q 1 p

Breuken vermenigvuldigen
3

Via de Rijn komt elke dag vanuit Duitsland 180 miljoen m3 water ons land binnen. Dit water verdeelt zich voornamelijk over drie aders: de Waal, de Nederrijn en de IJssel.
Bij P (Pannerden) gaat van het Rijnwater 2 3  deel naar de Waal. De rest ( 1 3  deel) blijft in de Rijn en stroomt naar Arnhem. Van het water bij Arnhem stroomt 3 5 naar de Nederrijn en 2 5 naar de IJssel.

a

Neem het stroomdiagram over en vul in de rondjes de hoeveelheden water in (in miljoenen m3).

b

Welk deel van het Rijnwater dat vanuit Duitsland ons land binnenkomt stroomt door de IJssel?

c

En welk deel stroomt door de Nederrijn?

Je hebt drie delen: het deel dat door de Waal stroomt, het deel dat door de IJssel stroomt en het deel dat door de Nederrijn stroomt.

d

Hoe groot zijn die drie delen samen?

In de opgave hierboven heb je gezien dat 1 3  deel van 2 5 gelijk is aan 2 15 , ofwel 1 3 × 2 5 = 2 15 .

Als je breuken vermenigvuldigt, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.

In wiskundetaal a c b d = a b c d .

4

Bereken de uitkomst. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

3 5 1 2

3 2 5

2 5 1 2

4 2 5

a 5 1 2

a 2 5

a 5 10 a

10 a 2 a 4

Bij het vermenigvuldigen van breuken kan het nodig zijn om kommagetallen eerst om te zetten naar een breuk, zoals 0,4 naar 2 5 , of om van een 'samengestelde breuk', zoals 1 3 5 , eerst een 'echte breuk' te maken, dus 8 5 .
Bijvoorbeeld: 1 3 5 2 1 4 = 8 5 9 4 = 72 20 = 3 12 20 = 3 3 5

5

Bereken de volgende sommen. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

3 4 2 5 1 2 a 5 a 3 1 1 2
3 7 a 6 0,6 1 1 2 2 2 3 4,1
a b b c c a 2 3 4 2 5 1 1 3
1 2 2 b a 4 4 b 5 3 3 4 2 a 5 6 b
Breuken delen
6

In het magazijn staat een groot blik verf van 5 liter. De verf moet worden overgegoten in potten van 1 2  liter.

a

Hoeveel potten heb je nodig?

Bij het verhaaltje hoort de deelsom 5 : 1 2 = 10 .

b

Neem de tabel over en vul hem verder in.

aantal liters in kleine pot

1 2

1 3

2 3

1 1 4

aantal potten

10

c

Maak ook de volgende deelsommen.
4 1 2 : 1 2

2 : 1 4

1 2 : 1 4

1 2 : 2

7

In het magazijn staat ook een blik van 3 1 3  liter. De verf moet worden overgegoten in kleinere potten van 5 6  liter.

a

Hoeveel kleinere potten heb je dan nodig? Welke deelsom hoort hierbij?

b

Maak nu ook de volgende deelsommen.
1 3 4 : 5 6

4 2 3 : 5 12

5 6 : 5 12

11 1 4 : 6

5 3 en 3 5 noemen we elkaars omgekeerde.
Het omgekeerde van x y is y x .

Om een getal om te kunnen keren moet je het eerst schrijven als een breuk.

8
a

Geef het omgekeerde van de volgende vijf getallen.
0,2 , 3 , 1 1 2 , 3 1 3 , 4,5.

b

Wat is het product van twee getallen die elkaars omgekeerde zijn?

c

Wat is het omgekeerde van 1? En van a ?

We kunnen delen door een breuk zo formuleren:
Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk.
DELEN DOOR x y = MAAL y x .

Voorbeeld:

1 4 : 2 3 = 1 4 × 3 2 = 3 8
1 2 5 : 1 3 4 = 7 5 : 7 4 = 7 5 × 4 7 = 4 5

Let op: je moet bij een deling de juiste breuk omkeren!

9

Bereken de volgende sommen.

16 : 2 3 28 : 1 3
16 : 4 7 28 : 1 1 3
2 3 : 4 7 28 : 2 2 3
4 7 : 2 3 28 : 0,3
Opmerking:

Wil je nog op een speelse manier het rekenen met breuken oefenen? Speel dan een paar keer de mini-loco 'breuken rekenen' . Je krijgt telkens andere getallen.

10

Nu alles door elkaar en bovendien mét een variabele.

Bereken de volgende sommen. Schrijf je antwoord als één breuk en zo eenvoudig mogelijk.

a 3 + a 4 = a 3 a 4 =
a 3 : a 4 1 + 4 a
a 4 a a 4 a
12 : ( 3 : a ) 12 : ( a : 3 )
a : 4 a ( a 3 ) 2
6 2 a 1 : ( a + 1 a )
Opmerking:

Het is belangrijk om het rekenen met breuken (met een variable) veel te oefenen, zodat je er steeds handiger in wordt. Dat kan met de volgende mini-loco. mini-loco 'breuken rekenen met een letter' . Je krijgt telkens andere formules en getallen.

Kruislings vermenigvuldigen
11

De twee rechthoeken die je hiernaast ziet zijn gelijkvormig.

a

Ga na dat hieruit volgt 2 p = p 8

Deze vergelijking kunnen we stap voor stap oplossen:

2 p = p 8
MAAL 8
16 p = p
MAAL p
16 = p 2
wortel nemen
p = 4 ( p = 4 voldoet niet)

Ook het tweede stel rechthoeken is gelijkvormig.

b

Vul in: q 5 = ... ... en los deze vergelijking stap voor stap (zoals hierboven) op.

Om de noemers kwijt te raken, hebben we in het voorbeeld in de opgave hierboven eerst met 8 vermenigvuldigd en daarna met p . Het gaat sneller, als je in één keer zowel met 8 als met p , dus met 8 x vermenigvuldigt:

2 p = p 8
MAAL 8 p
16 = p 2

Dit noemen we kruislings vermenigvuldigen.

Als a b = c d dan a d = b c .

Dit zie je in, door van de linker gelijkheid beide kanten met b d te vermenigvuldigen.

12

Bij de getekende paren gelijkvormige driehoeken vind je onderstaande vergelijkingen. (Ga dat na!)

3 x = 5 x + 1 y y + 3 = 3 4

Los beide vergelijkingen op met behulp van kruislings vermenigvuldigen.