figuur 1

De wandelingen die Randy Walker maakt (zie opgave 44), zijn ook te beschrijven met een rijtje bestaande uit de letters $A$ (avenue) en $S$ (street). In figuur 1 zie je de wandeling bij het rijtje $S A A S$ .

Alle wandelingen van opgave 44b kun je zo beschrijven. Je krijgt dan: $S S A A$ , $S A S A$ , $S A A S$ , $A S S A$ , $A S A S$ , $A A S S$ .

figuur 2

De wandeling in figuur 2 voert langs drie stukken $S$ en drie stukken $A$ .

Teken een tweede mogelijke wandeling van begin naar einde.

Beschrijf alle mogelijke wandelingen met rijtjes letters. Probeer dit systematisch te doen.

Een verslaggever die de wedstrijd Ajax-PEC moest verslaan, is tijdens de wedstrijd in slaap gevallen. Als hij aan het eind van de wedstrijd wakker wordt, hoort hij dat de einduitslag $6 - 4$ is geworden. Hij moet echter gokken naar het scoreverloop tijdens de wedstrijd. Een mogelijk scoreverloop is: $1 - 0$ , $2 - 0$ , $2 - 1$ , $3 - 1$ , $4 - 1$ , $4 - 2$ , $4 - 3$ , $5 - 3$ , $6 - 3$ , $6 - 4$ .
Dit scoreverloop kan worden voorgesteld door een route in een rooster. De tussenpunten $(1,0)$ , $(2,0)$ , $(2,1)$ , enz. komen overeen met de tussenstanden.

Uit hoeveel verschillende scoreverlopen kan de verslaggever kiezen?

Later hoort hij van zijn vrouw de ruststand: $2 - 2$ .

Teken in een rooster drie verschillende routes die horen bij een ruststand $2 - 2$ .

Hoeveel scoreverlopen met ruststand $2 - 2$ zijn er mogelijk?

Toevallig werd er enkele jaren geleden bij de wedstrijd Ajax- PEC ook $10$ keer gescoord. De uitslag was $7 - 3$ .

Hoeveel verschillende scoreverlopen passen bij deze uitslag?

Het is niet toevallig dat een scoreverloop kan worden weergegeven als route in een rooster. Er zijn bij elk doelpunt maar twee mogelijkheden: Ajax scoort òf PEC scoort. Net zoals je bij elk punt in een rooster steeds twee mogelijkheden hebt: naar boven òf naar rechts.
Het scoreverloop kan worden voorgesteld door een rijtje van tien letters, bijvoorbeeld: AAPAAPPAAP. Je kunt alle mogelijke scoreverlopen bij de einduitslag $6 - 4$ vinden door alle rijtjes van zes letters A en vier letters P op te schrijven. Wanneer je dat systematisch doet (en je beschikt over voldoende tijd), dan zul je de $210$ mogelijkheden wel vinden. De driehoek van Pascal geeft dit antwoord veel sneller!

Bij een wedstrijd worden er in totaal zes doelpunten gemaakt.

Welke eindstanden kunnen voorkomen?

Geef bij elke eindstand aan hoeveel verschillende scoreverlopen daar bij passen.

Het totale aantal mogelijke scoreverlopen is $64$ .

Had je dit aantal van tevoren kunnen uitrekenen?

Voorbeeld:

Uit een groep van acht mensen moeten er drie gekozen worden. Hoeveel verschillende drietallen zijn er mogelijk?

Voor het gemak noemen we de personen A tot en met H. Als een persoon wel gekozen wordt, zetten we een ‘ $1$ ’ onder zijn nummer, anders een ‘ $0$ ’. Bij het drietal B-C-G hoort dan onderstaand rijtje.

persoon	A	B	C	D	E	F	G	H
wel/niet gekozen	$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$0$

Bij ieder drietal hoort zo’n rijtje met vijf keer een ‘ $0$ ’ en drie keer een ‘ $1$ ’. Ieder rijtje (bestaande uit vijf nullen en drie enen) kan dan worden voorgesteld door een route in een rooster. Zo’n route bestaat uit acht stappen: je moet vijf keer naar rechts en drie keer naar boven. De route die bij het drietal B-C-G hoort, zie je hiernaast. Het aantal mogelijke drietallen is daarom gelijk aan het aantal kortste routes van $(0,0)$ naar $(5,3)$ . Dit noteer je met het combinatiegetal $(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})$ . Uit de driehoek van Pascal kun je aflezen dat er $56$ mogelijke drietallen zijn. Of je gebruikt de rekenmachine: $(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix}) = 8 C 3 = 56$ .

Bij het kiezen van het drietal is de volgorde niet van belang. In zo’n geval spreken we van een combinatie.

Een combinatie is op te vatten als een herhaalde keuze uit twee alternatieven: wel/niet, avenue/street, Ajax/PEC, nul/een, voor/tegen, enzovoorts. Elke combinatie kan daarom worden vertaald naar een rijtje bestaande uit twee symbolen en worden voorgesteld door een route in een rooster.

Hoeveel rijtjes van vijf J’s en vijf M’s zijn er?

En van vijf nullen en drie enen?

En van vier A’s en drie B’s?

De toestand van twaalf bomen aan de zuidkant van de Parklaan wordt onderzocht. Zieke exemplaren worden gemerkt met een kruis. Er blijken vijf bomen ziek te zijn.

Op hoeveel volgordes kunnen die vijf bomen over de Parklaan verspreid staan?

Hoeveel volgordes zijn er als je weet dat de eerste drie bomen gezond zijn? Dus GGG?????????.

Een test bestaat uit zes opdrachten. Een kandidaat moet er hieruit drie kiezen en deze maken.

Hoeveel keuzemogelijkheden heeft zo’n kandidaat?

Vier leerlingen zullen een klassenfeest organiseren: twee jongens en twee meisjes. Ze worden gekozen uit $23$ leerlingen van de klas, $11$ jongens en $12$ meisjes.

Hoeveel tweetallen kun je uit de elf jongens kiezen? En hoeveel tweetallen uit de meisjes?

Hoeveel viertallen kunnen gekozen worden?

Om haar profiel aan te vullen moet Saadet nog drie vakken kiezen uit de vakken: na, ak, fa, gs, du, bi, wb.

Op hoeveel manieren kan zij haar profiel aanvullen?

Bereken het aantal manieren waarop zij haar profiel aan kan vullen als zij geen enkel exact vak (na, bi, wb) kiest.
Doe hetzelfde in het geval zij één exact vak kiest.

Op hoeveel manieren kan zij dit doen als zij hoogstens één van de exacte vakken wil kiezen?