29.3 Parabolen >

Hoofdstukken > Parabolen en hyperbolen

$x$	$‐3$	$‐2$	$‐1$	1	2	3
$y = x^{2}$	9	4	1	1	4	9
$y = \frac{1}{10} x^{2}$	0,9	0,4	0,1	0,1	0,4	0,9
$y = \frac{1}{2} x^{2}$	4,5	2	0,5	0,5	2	4,5
$y = 2 x^{2}$	18	8	2	2	8	18

$x$	$‐3$	$‐2$	$‐1$	1	2	3
$y = ‐ x^{2}$	$‐9$	$‐4$	$‐1$	$‐1$	$‐4$	$‐9$
$y = ‐ \frac{1}{10} x^{2}$	$‐0,9$	$‐0,4$	$‐0,1$	$‐0,1$	$‐0,4$	$‐0,9$
$y = ‐ \frac{1}{2} x^{2}$	$‐4,5$	$‐2$	$‐0,5$	$‐0,5$	$‐2$	$‐4,5$
$y = ‐ 2 x^{2}$	$‐18$	$‐8$	$‐2$	$‐2$	$‐8$	$‐18$

Zie opgave b.

Dalparabool als $c > 0$ ,
een bergparabool als $c < 0$ .

Ze zijn elkaars spiegelbeeld in de $x$ -as.

Dan is $y = 0$ , dat is een rechte lijn, dat is de vergelijking van de $x$ -as.

De rol van c in de vergelijking y = cx²

$y = c x^{2}$
$3 = c \cdot 1^{2}$ (invullen het punt $(1,3)$ )
$3 = c$

$y = c x^{2}$
$2 = c \cdot {(‐ 5)}^{2}$ (invullen het punt $(‐ 5,2)$ )
$2 = 25 c$
$\frac{2}{25} = c$

$y = c x^{2}$
$‐ 3 = c \cdot 3^{2}$ (invullen het punt $(3, ‐ 3)$ )
$‐ 3 = 9 c$
$‐ \frac{1}{3} = c$

$y = c x^{2}$
$4 = c \cdot 5^{2}$ (invullen het punt $(5,4)$ of $(5, ‐ 4)$ )
$4 = 25 c$
$\frac{4}{25} = c$

$h = c x^{2}$
$6,25 = c \cdot 10^{2}$ (invullen het punt $(10; 6,25)$ )
$6,25 = 100 c$
$\frac{1}{16} = c$
Dus $h = \frac{1}{16} x^{2}$

$h = \frac{1}{16} \cdot 40^{2} = 100$ m

als $x = 0$ , $h = \frac{1}{16} \cdot 0^{2} = 0$ m
als $x = 10$ , $h = \frac{1}{16} \cdot 10^{2} = 6,25$ m
als $x = 20$ , $h = \frac{1}{16} \cdot 20^{2} = 25$ m
als $x = 30$ , $h = \frac{1}{16} \cdot 30^{2} = 56,25$ m
als $x = 40$ , $h = \frac{1}{16} \cdot 40^{2} = 100$ m

als $x = 35$ , $h = \frac{1}{16} \cdot 35^{2} = 76,5625$ m
De hoogte boven de Wupper is dan $100 - 76,5625 = 23,4375$ m.

De rol van a in de vergelijking y = (x – a)²

$x$	$‐3$	$‐2$	$‐1$	0	1	2	3
$y = x^{2}$	9	4	1	0	1	4	9
$y = {(x - 1)}^{2}$	16	9	4	1	0	1	4
$y = {(x - 2)}^{2}$	25	16	9	4	1	0	1
$y = {(x + 1)}^{2}$	4	1	0	1	4	9	16
$y = {(x + 2)}^{2}$	1	0	1	4	9	16	25

Eén eenheid naar rechts.

Door de grafiek twee eenheden naar links te schuiven.

De rol van b in de vergelijking y = (x – a)² + b

$x$	$‐3$	$‐2$	$‐1$	0	1	2	3
$y = x^{2} + 1$	10	5	2	1	2	5	10
$y = x^{2} + 2$	11	6	3	2	3	6	11
$y = x^{2} - 1$	8	3	0	$‐1$	0	3	8
$y = x^{2} - 2$	7	2	$‐1$	$‐2$	$‐1$	2	7

$x$	$‐3$	$‐2$	$‐1$	0	1	2	3
$y = {(x - 1)}^{2}$	16	9	4	1	0	1	4
$y = {(x - 1)}^{2} - 2$	14	7	2	$‐1$	$‐2$	$‐1$	2

$x$	$‐2$	$‐1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y = ‐ \frac{1}{2} x^{2}$	$‐2$	$‐ \frac{1}{2}$	$0$	$‐ \frac{1}{2}$	$‐2$	$‐ 4 \frac{1}{2}$	$‐8$
$y = ‐ \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2}$	$‐8$	$‐ 4 \frac{1}{2}$	$‐2$	$‐ \frac{1}{2}$	$0$	$‐ \frac{1}{2}$	$‐2$
$y = ‐ \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 3$	$‐5$	$‐ 1 \frac{1}{2}$	$1$	$2 \frac{1}{2}$	$3$	$2 \frac{1}{2}$	$1$

2 ; rechts
3 ; boven

3 eenheden naar links

4 eenheden naar beneden

$(2,3)$ ; $(‐ 3, ‐ 4)$

$(2,2)$ ; $(‐ 3,0)$
$(3,2)$ ; $(0,3)$

$(‐ 1,2)$

$y = {(2 + 1)}^{2} + 2 = 11$ . Gaat niet door $(2,20)$ .
$y = ‐ {(2 + 1)}^{2} + 2 = ‐ 7$ . Gaat niet door $(2,20)$ .
$y = 2 {(2 + 1)}^{2} + 2 = 20$ . Gaat door $(2,20)$ .

11s

12s

$y$ vervangen in de vergelijking $x + y + 6 = {(x - y + 3)}^{2}$ door $x + 3$ . Dus:
$x + (x + 3) + 6 = {(x - (x + 3) + 3)}^{2}$
$2 x + 9 = 0$
$x = ‐ 4 \frac{1}{2} \Rightarrow y = ‐ 4 \frac{1}{2} + 3 = ‐ 1 \frac{1}{2}$
Top $(‐ 4 \frac{1}{2}, ‐ 1 \frac{1}{2})$

Het punt $(10, ‐ 3)$ ligt $10 - 4 = 6$ eenheden rechts van de symmetrieas, dus het ander punt ligt $6$ eenheden links van de symmetrieas op $(‐ 2, ‐ 3)$ .
Het punt $(‐ 1, 19)$ ligt $4 - ‐ 1 = 5$ eenheden links van de symmetrieas, dus het ander punt ligt $5$ eenheden rechts van de symmetrieas op $(9,19)$ .

14s

15s

Als de top op de $y$ -as ligt, dan zijn $(‐ 2,4)$ en $(3,6)$ ook punten van de parabool.
Dus dan moet het een dalparabool zijn.