28.6 Cirkels >

Hoofdstukken > Vierkantsvergelijkingen

Afstanden op de getallenlijn

$9,6 - 6,7 = 2,9$ hm
$11,4 - 9,6 = 1,8$ hm

$‐ 3 - ‐ 5 = 2$ ; $1 - ‐ 3 = 4$ ; $4 - 1 = 3$

$‐ 3 - 4 = ‐ 7$ en $‐ 3 + 4 = 1$

$7 - \sqrt{5}$ ; $7 + \sqrt{5}$ ; $7 - \sqrt{5}$

Als $x > 4$ , dan is de afstand van $x$ tot 4: $x - 4$ .
Als $x < 4$ , dan is de afstand van $x$ tot 4: $4 - x$ .

Als $x > 0$ , dan is de afstand van $x$ tot 0: $x$ .
Als $x < 0$ , dan is de afstand van $x$ tot 0: $‐ x$ .

De vergelijking van een cirkel met middelpunt (0,0)

$A O = \sqrt{7^{2} + 1^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

$O B = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$
$O C = \sqrt{1^{2} + 7^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$
$O D = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$
$O E = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

Een cirkel met middelpunt $O (0,0)$ en straal $5 \sqrt{2}$ .

${(‐ x)}^{2} = x^{2}$ en ${(‐ y)}^{2} = y^{2}$

${(‐ 2)}^{2} + 4^{2} = 20$ , klopt
$r = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$

Zie opgave a.

Dan $y = 0$ , dus $x^{2} = 20$ , dus $x = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ of $x = ‐ \sqrt{20} = ‐ 2 \sqrt{5}$ .
Dus $(2 \sqrt{5},0)$ en $(‐ 2 \sqrt{5},0)$ .

$x^{2} + y^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 8$ en $x^{2} + y^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$

$r = \sqrt{25} = 5$

$(3,4)$ , $(‐ 3,4)$ , $(‐ 4,3)$ , $(4, ‐ 3)$ , $(5,0)$ , $(‐ 5,0)$ , enzovoort.

Zie opgave b.

$x^{2} + x^{2} = 25$ , oftewel $2 x^{2} = 25$
$x^{2} = \frac{25}{2} = \frac{50}{4}$
$x = \sqrt{\frac{50}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{50} = 2 \frac{1}{2} \sqrt{2}$ of $x = ‐ 2 \frac{1}{2} \sqrt{2}$
Snijpunten $(2 \frac{1}{2} \sqrt{2},2 \frac{1}{2} \sqrt{2})$ en $(‐ 2 \frac{1}{2} \sqrt{2}, ‐ 2 \frac{1}{2} \sqrt{2})$ .

Zie opgave b.

$a^{2} + a^{2} + 2 a + 1 = 25$
$2 a^{2} + 2 a - 24 = 0$
$a^{2} + a - 12 = 0$
$(a + 4) (a - 3) = 0$
$a = ‐ 4$ of $a = 3$
Als $a = ‐ 4$ , dan $y = a + 1 = ‐ 4 + 1 = ‐ 3$ .
Als $a = 3$ , dan $y = a + 1 = 3 + 1 = 4$
Snijpunten $(‐ 4, ‐ 3)$ en $(3,4)$ .

Zie opgave b.

Snijpunt is $(a,2 a + 5)$
$a^{2} + {(2 a + 5)}^{2} = 25$
$a^{2} + 4 a^{2} + 20 a + 25 = 25$
$5 a^{2} + 20 a = 0$
$5 a (a + 4) = 0$
$a = 0$ of $a = ‐ 4$
Als $a = 0$ , dan $y = 2 a + 5 = 0 + 5 = 5$ .
Als $a = ‐ 4$ , dan $y = 2 a + 5 = ‐ 8 + 5 = ‐ 3$
Snijpunten $(0,5)$ en $(‐ 4, ‐ 3)$ .

$(0,0)$

Niet één.

De vergelijking van een cirkel met middelpunt (a, b)

$A C = 2 - ‐ 4 = 6$ ; $B C = 3 - ‐ 1 = 4$

$87 + 101 = 188$

$a - b$ ; $b - a$

Omdat tegengestelde getallen hetzelfde kwadraat hebben.

${(3 - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 13$
${(y + 1)}^{2} = 12$
$y + 1 = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ of $y + 1 = ‐ 2 \sqrt{3}$
$y = ‐ 1 + 2 \sqrt{3}$ of $y = ‐ 1 - 2 \sqrt{3}$
Snijpunten $(3, - 1 + 2 \sqrt{3})$ en $(3, - 1 - 2 \sqrt{3})$ .

$y = 0$ , dus ${(x - 2)}^{2} + 1 = 13$
${(x - 2)}^{2} = 12$
$x - 2 = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ of $x - 2 = ‐ 2 \sqrt{3}$
$x = 2 + 2 \sqrt{3}$ of $x = 2 - 2 \sqrt{3}$
Snijpunten $(2 + 2 \sqrt{3}, 0)$ en $(2 - 2 \sqrt{3}, 0)$ .

$x + 3$ ; $1 - y$

${(x + 3)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = 9$ en dat is gelijk aan
${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$

$M_{C_{1}} (3,3)$ en $r^{2} = 3^{2} = 9 \Rightarrow$ $C_{1} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$
$M_{C_{2}} (‐ 4,5)$ en $r^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5 \Rightarrow$ $C_{2} : {(x + 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 5$
$M_{C_{3}} (‐ 3, ‐ 2)$ en $r^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 13 \Rightarrow$ $C_{3} : {(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 13$
$M_{C_{4}} (2, ‐ 3)$ en $r^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 8 \Rightarrow$ $C_{4} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 8$

${(x - 4)}^{2} + {(x + 2 - 2)}^{2} = 10$
$x^{2} - 8 x + 16 + x^{2} = 10$
$2 x^{2} - 8 x + 6 = 0$
$x^{2} - 4 x + 3 = 0$
$(x - 1) (x - 3) = 0$
$x = 1$ of $x = 3$
Als $x = 1$ , dan $y = 1 + 2 = 3$ .
Als $x = 3$ , dan $y = 3 + 2 = 5$ .
Snijpunten: $(1,3)$ en $(3,5)$ .

$x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 4 y + 4 = 10$
$x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 y + 10 = 0$

${(x + 5)}^{2} - 25$ ; ${(x + 6)}^{2} - 36$

${(x + 5)}^{2} - 25 + {(x + 6)}^{2} - 36 = 39$
${(x + 5)}^{2} + {(x + 6)}^{2} = 100$

Middelpunt $(‐ 5, ‐ 6)$ en straal $\sqrt{100} = 10$ .

$x^{2} + 4 x = {(x + 2)}^{2} - 4$ en $y^{2} - 5 y = {(y - 2 \frac{1}{2})}^{2} - 6 \frac{1}{4}$
Dus:
$x^{2} + y^{2} + 4 x - 5 y + 8 = 0 \Leftrightarrow$
${(x + 2)}^{2} - 4 + {(y - 2 \frac{1}{2})}^{2} - 6 \frac{1}{4} + 8 = 0 \Leftrightarrow$
${(x + 2)}^{2} + {(y - 2 \frac{1}{2})}^{2} = 2 \frac{1}{4}$
Middelpunt $(‐ 2,2 \frac{1}{2})$ en straal $\sqrt{2 \frac{1}{4}} = 1 \frac{1}{2}$ .