Hoofdstukken > Ruimtelijke figuren in het plat

Een kubus met ribbe 4 wordt in drie even dikke plakjes verdeeld; zie plaatje. (Twee van de plakjes zijn piramides.) De driehoekige snijvlakken zijn evenwijdig aan een diagonaalvlak.

Hoe lang zijn de zijden van de driehoeken?

Hoe dik zijn de plakken?

Je kunt de kubus ook in zes even dikke plakjes verdelen met snijvlakken evenwijdig aan de twee gegeven snijvlakken. Eén van de snijvlakken verdeelt de kubus in twee even grote stukken.

Teken dat snijvlak in de kubus op het werkblad.

Hoe ziet dat snijvlak eruit?

Als je een (plat) vlak snijdt met een kegelvormige trechter kun je een (afgeknotte) ellips krijgen of een geknikt lijnstuk of een cirkel. Welke snijkrommen kun je krijgen als je een vlak snijdt met de volgende objecten? Geef verschillende mogelijkheden:

een V-vormige goot,

een dunne vlakke plaat,

een golfplaat,

een buis,

een bal.

Een plat vlak kan allerlei snijkrommen hebben met ruimtelijke figuren. Bij twee platte vlakken (die niet parallel zijn) is er maar één mogelijkheid: ze snijden elkaar altijd volgens een rechte lijn.

We snijden door een kubus met ribbe 6 cm. Het snijvlak gaat door de punten $P$ , $Q$ en $R$ . Deze punten liggen alle drie op een ribbe, op afstand 3, 3 en 4 cm van een hoekpunt van de kubus. De snijfiguur is een driehoek.

Bereken de zijden van die driehoek.

Teken met behulp van je passer de driehoek op ware grootte (dat is als je er recht opkijkt).

Bereken de oppervlakte van de snijdriehoek in mm² nauwkeurig.

We willen als snijfiguur een driehoek met zijden 4, 3 en 3.

Hoe ver moet je dan de punten $P$ , $Q$ en $R$ van het hoekpunt rechts-voor-boven af kiezen?

$A B C D . E F G H$ is een kubus. We doorsnijden de kubus met een vlak dat door punt $E$ en door punt $H$ gaat. Er zijn veel van zulke vlakken. Als nu bovendien gegeven is dat het vlak door punt $C$ gaat, blijft er maar één mogelijkheid over.

Door welk hoekpunt gaat het vlak dan ook?

Kleur de snijfiguur (doorsnede) van het vlak met de kubus op het werkblad.

Hiernaast staat een kubus met ribbe 6. $H$ en $G$ zijn hoekpunten. $R$ ligt op de verticale ribbe linksvoor en $M$ is het midden van ribbe $E H$ . Het vlak dat door de punten $H$ , $G$ en $R$ gaat, doorsnijdt de kubus. Bedenk dat het vlak geen driehoek is maar oneindig ver doorloopt.

Kleur de snijfiguur op het werkblad.
Welke vorm heeft de snijfiguur?

Bereken de omtrek van de snijfiguur als de oppervlakte 42 is.

Kleur op het werkblad de doorsnede van het vlak door $M$ , $G$ en $C$ met de kubus.

Kleur op het werkblad de doorsnede van het vlak door $M$ evenwijdig aan $D C G H$ met de kubus.

Kleur op het werkblad de doorsnede van het vlak door $M$ dat evenwijdig is aan $A C G E$ met de kubus.

Met het vlak door $H$ , $G$ en $R$ (korter: vlak $H G R$ ) bedoelen we het hele, onbegrensde (dus oneindig grote) vlak waar de punten $H$ , $G$ en $R$ in liggen.
Met de doorsnede van vlak $H G R$ met de kubus in opgave 41 bedoelen we de hele snijfiguur, dus niet alleen driehoek $H G R$ . De hele snijfiguur is in dit voorbeeld een rechthoek.

San Pietro in Montorio

In de architectuur maakt men ook wel gebruik van doorsneden, zie plaatje.

Van het driezijdig prisma $A B C . D E F$ hebben alle ribben lengte 3 cm. $M$ is het midden van ribbe $B E$ . We bekijken de driehoekige doorsneden $A C B$ , $A C M$ en $A C E$ .

Teken de drie doorsneden op het werkblad.

Teken deze doorsneden ook op ware grootte.
Gebruik je passer; bepaal eerst hoe lang de zijden zijn.

$A B C D . E F G H$ is een balk van 3 bij 4 bij 4 cm. $P$ en $Q$ liggen recht boven $H$ en $G$ , 2 cm hoger.

Kleur de doorsnede van de balk met vlak $P Q B A$ .
Let op: teken alleen het vlak voor zover dat binnen de balk ligt.

Teken het zijaanzicht van de situatie (met kijkrichting $C D$ ).

Bereken de hoek die vlak $P Q B A$ maakt met grondvlak $A B C D$ in graden nauwkeurig.

Bereken de oppervlakte van de doorsnede in mm² nauwkeurig.

De balk is nu verdeeld in twee stukken.

Bereken de inhoud van beide stukken.