Hoofdstukken > Ruimtelijke figuren in het plat

Herhaling gelijkvormigheid

Nee, ze verschillen flink in hoogte en nauwelijks (of niet) in de breedte.

Als we van de kleinste schaal uitgaan, dan zijn de vergrotingsfactoren voor de bovenkant $\frac{20,0}{13,4} \approx 1,49$ en $\frac{22,5}{13,4} \approx 1,68$ .
Voor de hoogte is dat: $\frac{6,7}{4,5} \approx 1,49$ en $\frac{7,4}{4,5} \approx 1,64$ .
De kleinste en de middelste zijn gelijkvormig.

$2$

$\sqrt{2}$

$x = 3 \cdot 3,5 = 10,5$ m en $y = 2 \cdot 7 = 14$ m

$\tan (α) = \frac{2}{3}$ , dus $α \approx 33,7 °$

$∠ B = 180 ° - 36 ° - 79 ° = 65 °$
$∠ R = 180 ° - 36 ° - 65 ° = 79 °$
$∠ A = ∠ P$ , $∠ B = ∠ Q$ en $∠ C = ∠ R$ , dus zijn de driehoeken gelijkvormig.

De gelijkvormigheidsfactor is $\frac{24}{16} = 1,5$ .
$P Q = 1,5 \cdot 26 = 39$ en $A C = \frac{35}{1,5} = 23 \frac{1}{3}$ .

$α = 90 ° - 53 ° = 37 °$
$β = 180 ° - 90 ° - 37 ° = 53 °$

Het rechterstuk heeft ook hoeken van $90 °$ , $37 °$ en $53 °$ . De driehoeken hebben gelijke hoeken en zijn dus gelijkvormig.

$x = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$
$y = \frac{3}{4} \cdot 20 = 15$

Ja, de hele driehoek heeft ook hoeken van $90 °$ , $37 °$ en $53 °$ .

De twee oker gekleurde driehoeken zijn gelijkvormig, de bovenste zijde van de grote driehoek is 2 keer de onderste zijde van de kleine driehoek, dus de verhouding is $2 : 1$ .

$2$

$\frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ (volgt uit b).

Zie a.

$2$

$2$ , want $M$ ligt op halve hoogte en $X$ op $\frac{2}{3}$ van de hoogte waarop $M$ ligt.

De blauwe driehoek is gelijkvormig met de hele. De vergrotingsfactor is: $\frac{6}{2} = 3$ .
Dus $3 x = x + 3$ , dus $x = 1 \frac{1}{2}$ .

Schaduwen

korter

De lengte van de schaduw noemen we $x$ , zie plaatje. De hele driehoek is gelijkvormig met de kleine. De vergrotingsfactor is $\frac{6}{3} = 2$ .
Dus $2 x = x + 5$ , dus $x = 5$ meter.

Noem de drie schaduwen $x$ , $y$ en $z$ .

$\frac{6}{2} x = 2 + x \Rightarrow 2 x = 2$ geeft $x = 1$ m,
$\frac{6}{2} y = 4 + y \Rightarrow 2 y = 4$ geeft $y = 2$ m,
$\frac{6}{2} z = 6 + z \Rightarrow 2 z = 6$ geeft $z = 3$ m.

$\frac{1}{2} x$ meter

$P$ is de plaats van de lantaarn.

Paaltje $A$ is het hoogst, want het staat dichter bij de lantaarn en heeft toch een even lange schaduw.

$x = \frac{6}{2} = 3$ m

$B$ staat 4 meter van de lantaarn.
$\frac{6}{2} y = 6$ , geeft $y = 2$ m.

Zie a.

De plaats van de lamp noemen we $L$ , dan is driehoek $A B L$ gelijkvormig met driehoek $A' B' L$ en de vergrotingsfactor is 2, dus 2 keer zo snel.

Dat is $S$ , zie plaatje bij antwoord b.

Vergrotingsfactor is $\frac{180}{180 - 60} = 1 \frac{1}{2}$ , dus $1 \frac{1}{2} \cdot 120 = 180$ bij $1 \frac{1}{2} \cdot 90 = 135$ cm.

17s

19s

De plaats van het lampje noemen we $L$ .
De coördinaten van $L$ zijn $(0,3, h)$ ; in het vooraanzicht kun je $h$ bepalen: de blauwe driehoeken zijn gelijkvormig, de vergrotingsfactor is: $\frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$ , dus $L$ ligt op hoogte $3 + 1 \frac{1}{2} \cdot 3 = 7 \frac{1}{2}$ , dus $L (0,3,7 \frac{1}{2})$ .

Van $L$ naar $V$ moet je $4 \frac{1}{2}$ naar beneden, 1 naar voren en 1 naar links. Om van $V$ op het grondvlak te komen, moet je nog $\frac{2}{3}$ in die richting verder, dus nog $\frac{2}{3}$ naar voren en $\frac{2}{3}$ naar links. Je komt dan in: $(\frac{1}{3},1 \frac{1}{3},0)$ .

Dan moet het lampje in vlak $A E G$ liggen, dus op hoogte 6. (Noem het middelpunt van de bovenkant van de kubus $M$ , dan ligt lijn $A M$ in vlak $A E G$ en snijdt de lijn $F C$ op hoogte 6.)

Waarschijnlijk niet.

Dan komt de schaduw naar voren en hij wordt langer.

Tot op de hoogte van $L$ .

Dan komt er een bocht in de lijn van de schaduw:

In het blauwe gebied kan de tor op het dak kijken.

(De zijgevel moet in de tekening 3 cm zijn.)

$\frac{7}{5} x = x + 6$
$7 x = 5 x + 30$
$2 x = 30$
Dus $x = 15$ meter.

$\tan (α) = \frac{5}{15}$ , dus $α = 18,4 °$

23s

24s

Het midden van $C D$ noemen we $M$ , dan moet je de hoek van lijn $E M$ met het grondvlak hebben. $M$ is $(2,2,4)$ , dus van $M$ naar $E$ ga je 2 omhoog, 2 naar achter en 2 naar links. De hoek is dus even groot als de hoek die een lichaamsdiagonaal van een kubus met het grondvlak maakt. Noem die hoek $α$ , dan $tan α = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , dus $α \approx 35,2 °$ .