Een optimaal transportplan

De elektronicazaak Elektron importeert $500$ tv’s uit China. De tv’s komen per schip aan in Rotterdam, Antwerpen en Den Helder. Vanuit deze plaatsen worden de tv’s vervoerd naar de vestigingen van Elektron in Amsterdam, Breda, Utrecht, Maastricht en Groningen. Elektron wil het transport zo regelen dat de kosten zo laag mogelijk zijn.
In de figuur vind je de belangrijkste gegevens. Bij de routes op de landkaart zijn de transportkosten aangegeven in euro’s per tv. Onder de landkaart vind je het aantal tv’s dat in elk van de drie havens aankomt en het aantal tv’s dat naar elk van de vestingplaatsen van Elektron vervoerd moeten worden.

Hoe zou jij het transport regelen? Vergelijk je antwoord met dat van je klasgenoten. Wat is volgens jouw klas het voordeligste transportschema?

Door een beetje te puzzelen heeft jouw klas misschien wel een heel voordelig transportschema gevonden voor de firma Elektron. De overheid en het bedrijfsleven worden dagelijks met dit soort vraagstukken geconfronteerd. Wiskunde kan helpen bij oplossen van dit soort problemen.

Eén beperkende voorwaarde

Aan de rand van Wageningen ligt een onbebouwd stuk land van $14.000 m^{2}$ .
De gemeente heeft dit stuk land verkocht aan de woningbouwvereniging.
De woningbouwvereniging wil op het terrein woningen en voorzieningen (winkels, kantoren e.d.) bouwen.

Mark werkt bij de woningbouwvereniging. Hij weet dat een huis gemiddeld $7$ meter breed en $10$ meter lang is. Mark rekent als volgt.
Een huis neemt gemiddeld $70 m^{2}$ in beslag. Dus we kunnen op het terrein $200$ huizen bouwen.

Wat vind je van de redenering van Mark?

Hoeveel woningen kunnen er volgens jou op het terrein worden gebouwd? Leg uit hoe je aan jouw antwoord bent gekomen.

Bij het inrichten van de nieuwe wijk gebruikt de woningbouwvereniging de volgende gegevens:

een woning neemt $500 m^{2}$ in beslag;
een voorzieningeneenheid neemt $1000 m^{2}$ in beslag.

De woningbouwvereniging besluit om de hulp in te roepen van een stedenbouwkundige. Volgens de stedenbouwkundige kunnen op het terrein $20$ woningen en $4$ voorzieningeneenheden worden gebouwd.

Ga na of het plan van de stedenbouwkundige haalbaar is.

Het plan van de stedenbouwkundige kunnen we als volgt kort noteren:
$w = 20$ en $v = 4$ of $(20, 4)$ .
Je hebt in hoofdstuk 21 - Coördinaten kennisgemaakt met de notatie $(20, 4)$ .
Dit coördinatenpaar is in het plaatje weergeven in een assenstelsel.

Is het plan $(16, 6)$ haalbaar?

Zijn de plannen $(16, 6)$ en $(6, 16)$ gelijk? Leg uit waarom wel/niet.

Is het plan $(16 \frac{1}{2},2)$ haalbaar? Geef uitleg.

Bedenk zelf nog vier plannen waarin het terrein van $14.000 m^{2}$ wordt volgebouwd.

We willen in een assenstelsel alle haalbare plannen kunnen tekenen.

Hoe lang moet volgens jou de horizontale as van dit assenstelsel zijn? Geef uitleg.

En hoe lang de verticale as?

Teken het assenstelsel.

In de vorige opgave heb je plannen bedacht waarin het terrein van $14.000 m^{2}$ wordt volgebouwd. Bij deze plannen hoort een verband tussen $v$ en $w$ .

Neem over en vul passende getallen in:
Voor al deze plannen geldt: $... \cdot w + ... \cdot v = ...$

Laat zien dat je deze formule kunt vereenvoudigen tot
$w + 2 v = 28$ .

Maak een tabel bij deze formule en teken de grafiek van het verband in het assenstelsel.

De grafiek is een rechte lijn.

Ook de plannen waarin niet het hele terrein wordt volgebouwd zijn haalbaar.

Arceer in het assenstelsel het gebied waarin alle haalbare plannen liggen.

We noemen het gearceerde gebied het toelaatbare gebied.

Neem over en vul in $(=, <, \leq, >, \geq)$ . Voor alle plannen in het toelaatbare gebied geldt:
$w + 2 v ... 28$ .

In het plaatje staat een deel van het assenstelsel van opgave 13 met daarin een aantal plannen. Om plan $A$ te realiseren is $10.000 m^{2}$ van het terrein nodig.

Hoeveel vierkante meter is nodig om de plannen $B$ , $C$ en $D$ te realiseren?

Ines merkt het volgende op.
Ik weet dat het plan $(20, 4)$ haalbaar is. Als ik twee woningen minder bouw, dan is $1000 m^{2}$ niet bebouwd. Op deze $1000 m^{2}$ kan ik een extra voorzieningeneenheid bouwen. Dit geeft een nieuw plan.

Zoek op de manier van Ines een aantal plannen waarin het terrein van $14.000 m^{2}$ wordt volgebouwd

Deze plannen liggen op een rechte lijn $k$ .

Wat is de richtingscoëfficiënt van $k$ ?

Alle punten op lijn $k$ voldoen aan de formule $w + 2 v = 28$ uit de vorige opgave.
Je kunt uitgaande van deze formule, $v$ ook uitdrukken in $w$ .

Doe dat en bepaal zo de richtingscoëfficiënt van $k$ .

Meer beperkende voorwaarden

De woningbouwvereniging wil dat er op het terrein van $14.000 m^{2}$ minimaal $8$ en maximaal $22$ woningen worden gebouwd. Verder moet het aantal voorzieningeneenheden minimaal $3$ zijn en maximaal $8$ .

Neem over en vul in.
Deze voorwaarden kun je met ongelijkheden als volgt kort noteren:
$... \leq v \leq ...$ en $... \leq w \leq ...$

Noem drie plannen die aan deze voorwaarden voldoen en ga na of ze wel of niet haalbaar zijn.

Van de aannemer die de woningen en voorzieningeneenheden gaat bouwen, krijgt de woningbouwvereniging de volgende gegevens:

de bouw van een woning duurt $1 \frac{1}{2}$ maand;
de bouw van een voorzieningeneenheid duurt $1$ maand.

Zeg dat de woningbouwvereniging $w$ woningen en $v$ voorzieningeneenheden laat bouwen.

Hoeveel maanden werk neemt dit plan dan in beslag?

De woningbouwvereniging wil binnen $30$ maanden de bouw van de woningen en de voorzieningeneenheden gerealiseerd hebben.

Welke ongelijkheid volgt hieruit voor $v$ en $w$ ?