Definitie van sinus, cosinus en tangens

De verhouding $\frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde}$ heet tangens van de hoek,

De verhouding $\frac{overstaande rechthoekszijde}{schuine zijde}$ heet sinus van de hoek,

De verhouding $\frac{aanliggende rechthoekszijde}{schuine zijde}$ heet cosinus van de hoek.

We korten sinus af met sin, cosinus met cos en tangens met tan.

$\sin (α) = \frac{overstaande rechthoekszijde}{schuine zijde} = \frac{a}{c}$

$\cos (α) = \frac{aanliggende rechthoekszijde}{schuine zijde} = \frac{b}{c}$

$\tan (α) = \frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde} = \frac{a}{b}$

Voorbeeld
In opgave 18 van de vorige paragraaf heb je $α$ berekend: $α = 37 °$ . Dus (kijk nog eens naar het plaatje bij die opgave):
$sin (37 °) = \frac{3}{5} = 0,6$
$cos (37 °) = \frac{4}{5} = 0,8$
$tan (37 °) = \frac{3}{4} = 0,75$

Voor elke andere scherpe hoek kun je de bijbehorende sinus, cosinus en tangens bepalen. Dat zou bijvoorbeeld kunnen door met nauwkeurige tekeningen van grote rechthoekige driehoeken te werken. Wiskundigen doen dat anders. De resultaten zijn in de volgende tabel bij elkaar gebracht.

Sinus en cosinus werden bestudeerd door Hipparchus van Nicaea (180–125 vChr), Claudius Ptolemaeus van Egypte (90–165), Aryabhata (476–550), Varahamihira Brahmagupta en Muhammad ibn Mūsā al-kwārizmī. De Arabieren introduceerden het begrip sinus als gib, wat letterlijk koorde betekent. Toen het wetenschappelijk centrum van de wereld verschoof, werden de Arabische werken in de 12^e eeuw vertaald naar het Latijn. Hierbij werd gib verward met gaib, dat bocht of boezem betekent. Het Latijnse woord hiervoor is sinus. Ondanks de foute vertaling raakte het begrip toch ingeburgerd en dat is de reden dat we ze vandaag nog steeds kennen als sinus. (Uit: Wikipedia)
In de eerste extra opgaven kun je zien hoe bijvoorbeeld Ptolemaeus en Hipparchos de sinus gebruikten om afstanden en afmetingen van hemellichamen te bepalen.

Met sinus, cosinus en tangens werken

Voorbeeld 3

We gaan terug naar opgave 4 met de slagboom.

De breuk overstaande $\frac{overstaande rechthoekszijde}{schuine zijde}$ van de draaihoek $C A B$ kun je uitrekenen in driehoek $A B C$ . Dat is de sinus van hoek $C A B$ . We noemen die hoek $α$ .
Je vindt: $sin(α) = \frac{B C}{A C} = \frac{3 \frac{1}{2}}{6} \approx 0,583$ .

In de tabel zoek je terug dat $α \approx 36 °$ .

Voorbeeld 4

In opgave 5 moest je de hoogte van een ballon bepalen met behulp van een precieze tekening op schaal. Je kunt de hoogte van de ballon nauwkeurig bepalen met de tabel.
Hoek $C A B$ noemen we $α$ .
Er geldt: $sin(α) = \frac{B C}{A C}$ , dus $sin(72 °) = \frac{B C}{30}$ .
In de tabel vind je: $sin(72 °) = 0,951$ , dus $0,951 = \frac{B C}{30}$ ,
dus $B C = 30 \cdot 0,951 \approx 28,53$ meter.
Als je het antwoord in decimeter nauwkeurig moet geven, rond je af op één decimaal, want het eerste cijfer na de komma geeft het aantal dm aan.

Voorbeeld 5

Voor de gegevens, zie het plaatje.
De vraag is om $a$ en $b$ te berekenen.
Oplossing
Als je niet weet welke van de drie je moet hebben, sinus, cosinus of tangens, schrijf je ze alledrie op.
Dan kijk je waar je mee verder kunt.
In de tabel vind je:
$sin(32 °) \approx 0,530$ , $cos(32 °) \approx 0,848$ en $tan(32 °) \approx 0,625$ .
Dit geeft: $\frac{b}{a} \approx 0,530$ , $\frac{10}{a} \approx 0,848$ en $\frac{b}{10} \approx 0,625$ .
Met $\frac{b}{a} \approx 0,530$ kun je niet verder.
Met $\frac{10}{a} \approx 0,848$ kun je $a$ uitrekenen en met $\frac{b}{10} \approx 0,625$ , kun je $b$ uitrekenen.
Dit geeft: $a \approx \frac{10}{0,848} \approx 11,79... \approx 11,8$ en
$b \approx 10 \cdot 0,625 \approx 6,25 \approx 6,3$ .

Over nauwkeurigheid
In de voorbeeld 4 wordt een antwoord in dm nauwkeurig gevraagd. Als je in meters werkt, rond je het antwoord af op één decimaal.
In voorbeeld 5 moet je op één decimaal afronden. Daarvoor moet je de tweede decimaal ook weten.
Is die kleiner dan 5, dan rond je naar beneden af, anders naar boven, dus $6,24$ rond je af op $6,2$ en $6,25$ op $6,3$ .

Met je rekenmachine

Opmerking:

De getallen in de tabel staan ook in je rekenmachine.
Hoe je de sinus, cosinus en tangens van een hoek van $54 °$ te voorschijn tovert, hangt af van het merk rekenmachine.
Op veel rekenmachines gaat het zó.

Tik in	In het venster krijg je
$\sin 54$	0,8090169
$\cos 54$	0,5877852
$\tan 54$	1,3763819

Let op: je rekenmachine moet in de stand DEG staan! Moderne rekenmachines werken vaak anders. Vraag je leraar hoe je rekenmachine werkt of raadpleeg de gebruiksaanwijzing.

Als je machine anders werkt, moet je de handleiding bekijken. Misschien kan je leraar je helpen. Omgekeerd kun je ook bij een gegeven verhouding de grootte van de hoek vinden (te vergelijken met terugzoeken in de tabel).
Je weet bijvoorbeeld dat $tan(α) = 0,85$ , dan vind je $α$ zo:

Tik in	In het venster krijg je
shift tan 0,85	40,364536

Maar je bent meestal ook wel met minder cijfers achter de komma tevreden. Als je op één decimaal af moet ronden, krijg je $α = 40,4 °$ en als je op twee decimalen af moet ronden, krijg je $α = 40,36 °$ .

Op andere typen rekenmachines komt in plaats van “shift sin” wel voor: 2nd sin of ${sin}^{‐ 1}$ .

Zie plaatje.
In plaats van de definities van sinus, cosinus en tangens worden vaak de volgende formule gebruikt.

$a = c \cdot sin(α)$
$b = c \cdot cos(α)$
$a = b \cdot tan(α)$

We geven nog twee voorbeelden.

Voorbeeld 6
Voor de gegevens zie plaatje. We gebruiken formule 1:

x = 10 \cdot sin(54 °) \approx 8,1

.
Let op dat de rekenmachine in de stand DEG staat!

Voorbeeld 7
Zie plaatje.

tan(α) = \frac{17}{20}

.
Met de rekenmachine in de stand DEG:

shift tan (17 : 20) =

geeft:

40,364536...,

dus

α \approx 40,4 °

Zie plaatje.

Bereken $α$ , $β$ en $γ$ op je rekenmachine. Rond je uitkomsten af op één decimaal.

Zie plaatje.

Bereken $a$ , $b$ , $x$ , $y$ , $p$ en $q$ .
Rond je antwoorden af op twee decimalen.
Als je niet weet hoe je te werk moet gaan, bekijk dan nog eens de voorbeelden.